sistema linearizado de ecuaciones

Question

Si $x,y\in \mathbb{R}$ y $\sqrt{x}+y = 11\;$ y $x+\sqrt{y} = 7$. Entonces $(x,y) = $

$\underline{\bf{My\;\; Try::}}$ % Que $x=a^2$y $y=b^2$, entonces la ecuación es $a+b^2 = 11$ y $a^2+b = 7$.

$(a+b)+(a+b)^2-2ab = 18$ y ahora le $a+b=S$ y $ab=P$, obtenemos $S+S^2-P=18$

Ahora no entiendo cómo puedo lo solucioné.

Ayudar a la necesaria

Gracias

Answer 1

SUGERENCIA:

Suponiendo que $x,y$ son reales tenemos $x=7-\sqrt y\le 7\implies a^2\le 7$

Poner $b=7-a^2,$

$$a+(7-a^2)^2=11\implies a^4-14a^2+a+38=0$$

Observe que $a=2$ es una solución

Para el caso general, tenemos que utilizar la fórmula que se describe aquí o aquí

Answer 2

Que estábamos en el camino correcto, todo lo que necesitas hacer es restar en lugar de sumar. Hacer que te dará $(a+b^2)-(a^2+b)=4$

Que puede llegar a ser

$(b^2-a^2)-(b-a)=4=(b-a)(b+a)-(b-a)=(b-a)(b+a-1)$

Ya que la única manera que se puede obtener 4 multiplicando es $2*2$ o $4*1$,

$b-a=2$ $b+a-1=2$

o

$b-a=1$ $b+a-1=4$

si $b-a=b+a-1=2$,$a=1/2$$b=5/2$, lo que significa que $(x,y)=(1/4,25/4)$ y que no satisface las condiciones iniciales

si $b-a=1$ $b+a-1=4\implies b+a=5$

entonces uno puede fácilmente determinar que $b=3$$a=2$, lo que significa que $(x,y)=(4,9)$, que satisface las condiciones iniciales.