cómo comparar las $\sin(19^{2013}) $ $\cos(19^{2013})$

Question

cómo comparar las $ \sin(19^{2013})$ $\cos (19^{2013})$ o incluso encontrar su rango de valores normales con la calculadora?

Puedo tomar $2\pi k= 19^{2013} \to \ln(k)= 2013 \ln(19)- \ln(2 \pi)=5925.32 \to k= 2.089 \times 10^{5925}$, pero es inútil.(Puedo obtener la respuesta final con WolframAlpha, pero no está permitido.)

Cualquier sugerencia? gracias!

Answer 1

Si $19^{2013}$ fueron medidos en grados, podemos usar un simple truco.

$19$ es uno más de la $18$ que es un múltiplo de a $6$. Esto significa que cualquier potencia de $19$ $1$ más que un múltiplo de $6$, en particular, $19^2 = 361$

$19^2$ $1$ más que un múltiplo de $360$ nos dice que cualquier potencia de $19$ 1 más de un múltiplo de $360$. En particular, podemos concluir que $19^{2012}$ es uno más de los múltiples de $360$.

¿Qué significa eso? Esto significa que si viajamos $19^{2012}$ grados alrededor del círculo unidad que acaba de terminar en el $1$ grado de marcas de graduación.

$19^{2013}$ es sólo $19^{2012}$ $19$ veces. Esto significa que haría el viaje descrito anteriormente $19$ veces cada vez que termina un tick más allá de la última vez que el significado que queremos terminar en $19$ grados. En otras palabras $19$ grados se encuentra en la misma posición del círculo unitario como $19^{2013}$.

Si nunca has trabajado con aritmética modular usted no puede entender por qué $19^2 = 360 + 1$ implica que el $19^{2012} = k \cdot 360+1$.

Para ver esto consideremos poderes de $(360+1)$.

$$360+1$$ $$ (360+1)^2 = 360^2 + 2\cdot360 + 1$$ $$ (360+1)^3 = 360^3 + 3^360^2 + 3*360 + 1$$ $$ \vdots$$ $$ (360+1)^n = 360^n + n *360^{n-1} + \cdots + n * 360 + 1 $$

Observe que el resultado es siempre uno más que un múltiplo de $360$.

Answer 2

Hallar el seno y el coseno, tendrá que reducir el ángulo de ($19^{2013} \approx 1.352 \times 10^{2574}$) modulo $2\pi$. Así, para una precisión razonable, usted necesitará aproximadamente 2600 dígitos de $\pi$. Afortunadamente, el primer 100 000 o incluso millones de dígitos son fácilmente accesibles en línea.

Sucede que $19^{2013} \approx 1.2329141525482654$ modulo $2\pi$, así:

• $\sin(19^{2013}) \approx \sin(1.2329141525482654) \approx 0.9434588183383549$
• $\cos(19^{2013}) \approx \cos(1.2329141525482654) \approx 0.3314897556480367$

Todo lo que necesita es un lenguaje de programación que soporta precisión arbitraria racional de la aritmética, y una manera de obtener un montón de dígitos de $\pi$. Normal TI-89 calculadora proporcionará a los ex; la parte difícil es la implementación de un algoritmo para el segundo. Pero eso es tema para otra pregunta.