Si una trayectoria continua $\Xi$ $A\subset\mathbb{R}^2$ comienza y termina en $\partial(A)$, mostrar que $A-\Xi$ está desconectado

Question

Si un camino continuo $\Xi$ en un cerrado y limitado subconjunto $A\subset\mathbb{R}^2$ empieza y termina en $\partial(A)$, muestran que $A-\Xi$ está desconectado

Para hacer las cosas formal deje $T=[0,1]$ y decir que $\Xi$ es un par de funciones continuas $x \colon T \to \mathbb{R}$,$y \colon T \to \mathbb{R}$ tal que

$\forall\,t\;(x(t),y(t))\in A$

$(x(0),y(0))\in \partial A$

$(x(1),y(1))\in \partial A$

$\exists\;t\;s.t.\;(x(t),y(t))\in int(A)$.

Mostrar que $A-\Xi$ está desconectado. Esto es evidente a partir de cualquier ilustración, pero encontrar una rigurosa prueba me escapa. Si por el contrario estamos trabajando en la unidad de la plaza, por ejemplo, y el camino de $\Xi$, en cambio, la gráfica de una función continua $f:[0,1] \to [0,1]$ puedo hacerlo.

Definir los conjuntos $U=${$(x,y):f(x)>y$}$,\;L= ${$(x,y):f(x)<y$}$ $ U y L están abiertas debido a que f es continua. Ambos son no vacías debido a que la gráfica de f tiene un punto en el interior. y, obviamente, la partición del espacio de $[0,1]^2-\Xi$, por lo que se hacen.

cualquier ayuda o referencias en el caso general, sería muy apreciado. Gracias

Answer 1

Esto no funciona si $A = {(x,y) \bigm| 1 \le x^2 + y^2 \le 4}$, con $\Xi = [1,2] \times {0}$de %.

Answer 2

No creo que esto es cierto. $A = [0,1]\times [0,2]$ De tomar y sea sobreyectiva, i.e.a de curva de llenado de espacio, que fácilmente podemos tomar para iniciar y terminar en $(x,y) : T \to [0,1]^2$ $(0,0) \in \partial A$.

En este caso, $A \setminus \Xi = [0,1]\times (1,2]$ está conectado.

Answer 3

La región necesita también estar simplemente conectado (si no toma un anillo).

No sé las referencias pero creo que usted podría conseguir una prueba agradable en general si no te importa usar el teorema de la curva de Jordan:

Supongamos que la curva interseca el límite en el % de puntos $p_1, p_2$y construir una curva cerrada que consta de un arco de la frontera (ya que el límite es homeomorfa a $S^1$) entre $p_1$y $p_2$ y la curva interior.