Demostrar que $f$ es constante en $[a,b]$

Question

$\displaystyle \int{a}^{b} f^2(x) \, \mathrm{d}x$ = $\displaystyle \int{a}^{b} f^4(x) \, \mathrm{d}x$ = $\displaystyle \int_{a}^{b} f^3(x) \, \mathrm{d}x$

Y continua en $f$ $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$.

Sinceramente, he intentado todo que lo posible, no puedo ver cómo ayudaría a los integrales ya que son definitivas.

he logrado algo, pasa el intervalo de $f$ $[-1,1]$.

Empiezo por suponer que existe n tal que: $f'(n)>0$

pero sinceramente, con estas integrales no veo cómo podemos lograr una contradicción

Answer 1

Por la Desigualdad de Cauchy Schwarz, para cualquier función integrable $f(x)$:

$\displaystyle\left(\int_a^b f(x) \cdot f(x)^2\,dx\right)^2 \le \left(\int_a^b f(x)^2\,dx\right) \left(\int_a^b (f(x)^2)^2\,dx\right)$

$\displaystyle\left(\int_a^b f(x)^3\,dx\right)^2 \le \left(\int_a^b f(x)^2\,dx\right) \left(\int_a^b f(x)^4\,dx\right)$

Pero por las condiciones dadas, la igualdad, que lleva a cabo foro $f(x)^2$ es un múltiplo constante de $f(x)$, es decir, $f(x)^2 = cf(x)$, es decir, $f(x) = c$.

Answer 2

No sólo es $f$ constante, esa constante es o $0$ o $1$. $$\begin{align} \int_a^b\left[f(x)^2-f(x)\right]^2\,\mathrm{d}x &=\int_a^b\left[f(x)^4-2f(x)^3+f(x)^2\right]\,\mathrm{d}x\ &=0 \end {Alinee el} $$ así, $(f(x)-1)f(x)=0$ % casi todos $x\in[a,b]$. $f$ Es continua, tenemos o $f(x)=0$ $x\in[a,b]$ o $f(x)=1$ $x\in[a,b]$.