Prueba de relación de conmutador$[\hat{H},\hat{a}] = - \hbar \omega \hat{a}$

Question

Sé cómo derivar a continuación las ecuaciones encontrado en wikipedia y lo han hecho myselt demasiado:

\begin{align} \hat{H} &= \hbar \omega \left(\hat{a}^\dagger\hat{a} + \frac{1}{2}\right)\\ \hat{H} &= \hbar \omega \left(\hat{a}\hat{a}^\dagger - \frac{1}{2}\right)\\ \end{align}

donde $\hat{a}=\tfrac{1}{\sqrt{2}} \left(\hat{P} - i \hat{X}\right)$ es un operador de aniquilación y $\hat{a}^\dagger=\tfrac{1}{\sqrt{2}} \left(\hat{P} + i \hat{X}\right)$ la creación de un operador. Permítanme escribir también que:

\begin{align} \hat{P}&= \frac{1}{p_0}\hat{p} = -\frac{i\hbar}{\sqrt{\hbar m \omega}} \frac{d}{dx}\\ \hat{X}&=\frac{1}{x_0} \hat{x}=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x \end{align}

Con el fin de continuar necesito una prueba de que los operadores de $\hat{a}$ $\hat{a}^\dagger$ dar un colector con hamiltonianos $\hat{H}$:

\begin{align} \left[\hat{H},\hat{a} \right] &= -\hbar\omega \, \hat{a}\\ \left[\hat{H},\hat{a}^\dagger \right] &= +\hbar\omega \, \hat{a}^\dagger \end{align}

Estas declaraciones se pueden encontrar en wikipedia, así como aquí, pero en ninguna parte está demostrado que las relaciones anteriores para colector posee realmente. He intentado derivar $\left[\hat{H},\hat{a} \right]$ y mi resultado fue:

$$ \left[\hat{H},\hat{a} \right] \psi = -i \sqrt{\frac{\omega \manejadores^3}{4 m}}\psi $$

Usted debe saber que esto este es el 3er colector que he calculado, por lo que probablemente está mal, pero aquí es una foto de mi intento de papel. Agradecería si alguien tiene algún enlace a una prueba del conmutador de relaciones (uno) o podría publicar una prueba aquí.

Answer 1

Comience con su $\hat{H} = \hbar \omega \left( \hat{a}^\dagger\hat{a} + \frac{1}{2} \right)$. Se omita los notación sombrero desde este punto. El conmutador se lee entonces como\begin{equation} \left[ H, a \right] = \hbar \omega \left[ \left( \hat{a}^\dagger\hat{a} + \frac{1}{2} \right) a - a \left( \hat{a}^\dagger\hat{a} + \frac{1}{2} \right) \right] = \hbar \omega \left( a^\dagger a a - a a^\dagger a \right) , \end{equation} que no es sino \begin{equation} \left[ H, a \right] = \hbar \omega (a^\dagger a - a a^\dagger)a = \hbar \omega \left[ a^\dagger, a \right]a, \end{equation} pero sabemos eso\begin{equation} \left[a^\dagger, a \right] = -1 , \end{equation} por lo tanto\begin{equation} \left[ H, a \right] = -\hbar \omega a, \end{equation} QED.

Prueba de la segunda relación se hace de la misma manera.

Answer 2

En la página de Wikipedia enlace a hay una derivación de la relación de conmutación entre $\hat{a}$ y $\hat{a}^{\dagger}$, $$ [\hat{a},\hat{a}^{\dagger}] = 1.$ $ este directamente conduce a (utilizar la relación $[AB,C]=[A,C]B+A[B,C]$) $$ [\hat{a}^{\dagger}\hat{a},\hat{a]} «««= - \hat{a}, \qquad [\hat{a}^{\dagger}\hat{a},\hat{a}^{\ Daga}] = +\hat{a}^{\dagger}.$$ hasta una constante esto es lo mismo que $[\hat{H},\hat{a}]$ y $[\hat{H},\hat{a}^{\dagger}]$.