Buscar

Question

<blockquote> <p>$$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1!+3!+\ldots+(2n-1)!}{2!+4!+\ldots+(2n)!}$$</p> </blockquote> <p>He probado algunos métodos estándar como $(2n)!$ de división y comparando términos consecutivos. Sugerencia, por favor :) Gracias de antemano.</p>

Answer 1

Moral: El último término en el denominador es $n$ veces más grande que el último término en el numerador, y todos los términos inferiores son insignificantes ya que son más pequeñas por un factor en el orden $n^2$. Esto mata el límite. Hay un tecnicismo menor a superarse, ya que todavía hay $n$ términos en el numerador.

---

Esto puede estimarse muy brutalmente. El fondo es al menos $(2n)!$, mientras que el numerador es más $(2n - 1)! + n \cdot (2n - 3)!$. Esto conduce a

\begin{align} \frac{(2n - 1)! + n (2n - 3)!}{(2n)!} &= \frac{\big((2n - 1)(2n - 2) + n\big)(2n - 3)!}{(2n)(2n - 1)(2n - 2)(2n - 3)!} \ &= \frac{4n^2 + O(n)}{8n^3 + O(n^2)} \to 0 \end{align}