¿Qué significan los valores propios de la representación matricial de una forma bilineal?

Question

Dada una forma bilineal $B$ en algún espacio vectorial de dimensión finita $V$ siempre podemos representar $B$ por alguna matriz $A$ tal que $B(v,w) = [v]^TA[w]$ . Así, podríamos asociar los valores propios de $A$ con $B$ . Pero, ¿tiene eso algún significado?

¿Qué representan, geométrica o algebraicamente, los valores propios de la representación matricial de una forma bilineal?

Answer 1

Fijar una forma bilineal $B$ en un espacio vectorial de dimensión finita $V$ , digamos, sobre un campo $\Bbb F$ .

Elige dos bases de $V$ digamos, $\mathcal E$ y $\mathcal F$ y que $P$ denotan la matriz de cambio de base que los relaciona. Entonces, las respectivas representaciones matriciales $[B]_{\mathcal E}$ y $[B]_{\mathcal F}$ de $B$ con respecto a esas bases están relacionadas por $$\phantom{(\ast)} \qquad [B]_{\mathcal F} = P^\top [B]_{\mathcal E} P . \qquad (\ast)$$ En particular, tomando el determinante de ambos lados se obtiene $$\phantom{(\ast\ast)} \qquad \det[B]_{\mathcal F} = (\det P)^2 \det[B]_{\mathcal E} . \qquad (\ast\ast)$$ Como el determinante de una matriz es el producto de sus valores propios y $\det P$ puede tomar cualquier valor no nulo en $\Bbb F$ el espectro (conjunto de valores propios) de la representación matricial $[B]_{\mathcal E}$ de $B$ en general depende de la base $\mathcal E$ y, por tanto, no tiene un significado intrínseco (es decir, independiente de la base).

Dicho esto, las formas bilineales tienen algunos invariantes, y al menos algunos de ellos son expresables en términos de los valores propios de $[B]$ .

Rango El rango de una matriz no se modifica al multiplicarla por una matriz invertible, por lo que la regla de transformación $(\ast)$ muestra que el $\operatorname{rank} [B]_{\mathcal E}$ es un invariante de $B$ y es igual a $n := \dim V$ menos el número $n_0$ de valores propios cero (que por tanto es una invariante de $B$ ). Tenemos $n_0 = \dim \ker B$ , donde $\ker B := \{v \in V : B(v, \,\cdot\,) = 0\}$ es el kernel de $B$ .

Restringiendo temporalmente al caso simétrico, el rango es un invariante completo para la forma bilineal simétrica sobre algunos campos, incluyendo los algebraicamente cerrados que no son de característica $2$ .

Teorema Si $B$ es una forma bilineal simétrica en un espacio vectorial de dimensión finita $V$ sobre un campo algebraicamente cerrado de característica no $2$ hay una base $\mathcal E$ de $V$ para lo cual $$B = \operatorname{diag}(\underbrace{1, \ldots, 1}_{\operatorname{rank} B}, \underbrace{0, \ldots, 0}_{n_0}) .$$

Discriminante Mientras que $(\ast\ast)$ nos dice que el determinante de $[B]$ no es un invariante de $B$ , si $[B]$ es invertible también nos dice que la imagen de $\det B$ bajo el homomorfismo canónico de cociente $\Bbb F^\times \to \Bbb F^\times / (\Bbb F^\times)^2$ (de grupos abelianos) es una invariante; esta cantidad es la discriminante de $B$ . En términos de los valores propios de $B$ el discriminante es sólo la imagen de su producto bajo ese mapa. Si $\Bbb F$ es algebraicamente cerrado (de hecho, basta una condición mucho más débil), el objetivo es el grupo trivial y, por tanto, el discriminante no contiene ninguna información. Si $\Bbb F = \Bbb Q$ por ejemplo, podemos identificar el cociente $\Bbb F^\times / (\Bbb F^\times)^2$ con el conjunto de enteros libres de cuadrados no nulos. (Normalmente discriminante se aplica a las formas bilineales simétricas no degeneradas, pero no veo ninguna razón para no utilizarlo también para las matrices no simétricas).

De nuevo restringiendo temporalmente al caso simétrico, sobre algunos campos el discriminante es un invariante completo de una forma bilineal simétrica no degenerada, y sobre otros no lo es. Véanse los teoremas 11 y 12 de la obra de Kaplansky Álgebra lineal y geometría: Un segundo curso para más detalles. (Gracias a rschweib por mencionar esta referencia en los comentarios).

En $\Bbb R$ tenemos un resultado de clasificación clásico que podemos enmarcar en términos de valores propios:

Ley de inercia de Sylvester Dada una real, simétrico forma bilineal $B$ en un espacio vectorial de dimensión finita $V$ el número $n_+$ de valores propios positivos, entonces el número $n_0$ de valores propios cero, y el número $n_-$ de valores propios negativos (todos contando la multiplicidad) de la representación matricial $[B]_{\mathcal E}$ son independientes de la base $\mathcal E$ de $V$ elegido. Además, estos son los únicos invariantes de las formas bilineales reales y simétricas en el sentido de que, para cualquier forma de este tipo, existe alguna base $\mathcal E$ para lo cual $$[B]_{\mathcal E} = \operatorname{diag}(\underbrace{1, \ldots, 1}_{n_+}, \underbrace{0, \ldots, 0}_{n_0}, \underbrace{-1, \ldots, -1}_{n_-}) .$$

Decimos que la forma bilineal $B$ es nondegenerate si $n_0 = 0$ en cuyo caso decimos que tiene firma $(n_+, n_-)$ . La forma $B$ es positivo-definido si $n_0 = n_- = 0$ y negativo-definido si $n_0 = n_+ = 0$ . Geométricamente, $n_+$ ( $n_-$ ) es la dimensión de los mayores subespacios de $V$ en el que $B$ se restringe a ser positiva (negativa) definida, y $n_0$ es la dimensión del aniquilador $\ker B := \{v \in V : B(v, \cdot) = 0 \}$ . Tenemos $\Bbb R^\times / (\Bbb R^\times)^2 \cong \{\pm 1\}$ y bajo esta identificación el discriminante de una forma bilineal simétrica, real y no degenerada es simplemente $(-1)^{n_-}$ el discriminante es un invariante completo sólo para $n = 1$ .

Por último, las propiedades de $B$ puede imponer restricciones a los posibles valores propios de $\Bbb R$ con respecto a cualquier base. Por ejemplo, si una forma bilineal real $B$ es simétrica, todos sus valores propios son reales, por lo que la existencia de un valor propio no real nos dice que $B$ no es simétrica (aunque en la práctica uno suele saberlo antes de conocer los valores propios). Lo contrario no es válido para $n > 1$ .