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Hay una infinidad de soluciones. En particular, como $\sqrt 2 \sin(\sqrt 2 x)$ oscila entre el$-\sqrt 2$$\sqrt 2$, mientras que el otro único término que oscila entre el$-1$$1$, no es una solución, al menos una vez por período de $\sin (\sqrt 2 x)$ [aunque de forma genérica, más a menudo].
Usted no será capaz de escribir todas las soluciones. Una es $x = 0$. Para cualquier otra, puede numéricamente aproximar las soluciones muy rápidamente.
Por ejemplo, como $\sin \pi = 0$$\sin 2\pi = 0$, mientras que$\sin \sqrt 2 \pi < 0$$\sin \sqrt 2 (2 \pi) > 0$, del valor medio teorema da que hay un cero entre los $\pi$ $2\pi$ (y que por lo tanto se puede encontrar fácilmente mediante búsqueda binaria).
Los argumentos son diferentes,por lo que su método no funciona. Es la suma de ondas sinusoidales de diferentes frecuencias.No hay ningún periódico soluciones, sino un conjunto de número infinito de sólo las raíces reales. Es sorprendente que no hay raíces complejas. Tales ecuaciones surgir en la búsqueda de raíces en ciertas autovalor problemas.
Numérico de la iteración de procedimientos como el de Newton/Raphson son útiles.
EDIT1:
Si alguien publica una animación de rotación de la fuerza de vectores sería instructivo y divertido.
El más grande y más rápido vector supera a la más lenta de una infinidad de veces.
Estas raíces se produce cuando el eje-y la proyección es igual en magnitud y
de signo opuesto.
Pregunta muy interesante. Aquí está un resumen de esta respuesta:
- Hay un número infinito de bienes raíces;
- Todas las raíces de la función son reales;
- El número de raíces en el intervalo de $[0,T]$ está muy cerca de a $T\pi^{-1}\sqrt{2}$.
1.) Dado $f(x)=\sqrt{2}\sin(x\sqrt{2})+\sin(x)$, es suficiente para probar que $f(x)$ es positivo/negativo en infinitos puntos de $\pi\mathbb{Z}$ a conseguir ese $f(x)$ tiene un número infinito de ceros, ya que es una función continua. Por lo que es suficiente para estudiar el comportamiento de $f(k\pi)=\sqrt{2}\sin\left(\frac{2\pi k}{\sqrt{2}}\right)$ o el comportamiento de $$ e_k = \exp\left(2\pi i\cdot\frac{k}{\sqrt{2}}\right). $$ Desde $\sqrt{2}\not\in\mathbb{Q}$, $\{e_k\}_{k\in\mathbb{Z}}$ es denso en el círculo unidad (mucho más en realidad, es un equidistributed secuencia). La proyección de $z\to \text{Im}(z)$ (lo $e_k$$\sqrt{1/2}\,f(k\pi)$) conserva la densidad como cualquier mapa continuo, de ahí se sigue que $f(x)$ toma un número infinito de valores positivos/negativos sobre $\pi\mathbb{Z}$, por lo tanto tiene un número infinito de bienes raíces.
2.) Además, todas las raíces de $f(x)$ son reales. Esto es una consecuencia de la de Gauss-Lucas teorema, puesto que la totalidad de la función $f(x)$ tiene una antiderivada
$$ F(x) = -\cos(x)-\cos(x\sqrt{2}) = -2\cos\left(\frac{1+\sqrt{2}}{2}x\right)\cos\left(\frac{1-\sqrt{2}}{2}x\right) $$
con sólo las raíces reales, por lo tanto $f(x)$ no tiene ninguna raíz en $\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$.
3.) Con un poco de topológico grado de la teoría, tenemos que el número de ceros $N(T)$ $f(x)$ en el intervalo de $[0,T]$ está muy bien aproximada por la parte real de
$$ \frac{1}{\pi}\int_{0}^{T}\frac{2e^{\sqrt{2}it}+e^{it}}{\sqrt{2} e^{\sqrt{2}it}+e^{it}}\,dt = \frac{T\sqrt{2}}{\pi}-\frac{\sqrt{2}-1}{\pi}\int_{0}^{T}\frac{dt}{1+\sqrt{2}e^{(\sqrt{2}-1)it}}$$
donde la última integral es acotada. De ello se desprende que $N(T)\sim \frac{T\sqrt{2}}{\pi}$.
Aquí es un gráfico de la curva de $\gamma(t)=\sqrt{2}e^{\sqrt{2}it}+e^{it}$$t\in[0,200]$:
$\hspace1.5in$
por la desigualdad de triángulo, una curva está contenida en el espacio anular $\sqrt{2}-1\leq |z|\leq \sqrt{2}+1$.
$\sqrt{2} \sin(\sqrt{2}x)$ va de$-1$ a$1$ en el intervalo$[(2n-1/4) \pi/\sqrt{2}, (2n+1/4)\pi/\sqrt{2}]$ y de$1$ a$-1$ en el intervalo$[(2n+3/4)\pi/\sqrt{2}, (2n+5/4)\pi/\sqrt{2}]$. En cada uno de estos intervalos, la derivada de$\sqrt{2}\sin(\sqrt{2}x)$ tiene un valor absoluto al menos$\sqrt{2}$. Por lo tanto,$\sqrt{2} \sin(\sqrt{2}x) + \sin(x)$ es monótona y tiene exactamente un cero en cada uno de estos intervalos.
