La rapidez de la función exponencial hacia el infinito

Question

Desde $$ \begin{align*} & e^x = 1 + x + \ldots + \frac{x^n}{n!} + \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} + \ldots , \\ & x^{-n}e^x \gt \frac{x}{(n+1)!} \rightarrow \infty \end{align*}$$

al $ x \rightarrow \infty $. Por lo tanto $ e^x $ tiende a infinito más rápidamente que la de cualquier poder de $ x $.

"Una Introducción a la Teoría de los Números" - G. H. Hardy y E. M. Wright

Entiendo que la desigualdad, pero no veo cómo esta proposición es verdadera o bajo qué contexto se mantiene fiel. Yo podría ser una lectura errónea de la declaración y de malinterpretar. Obviamente, la desigualdad existe, porque el Poder de la Serie es una suma de términos de $ \frac{x^n}{n!} $ $ e^x $ será mayor que cualquier término determinado. ¿Cómo afecta este hecho a probar que $ e^x $ tiende más rápidamente hacia el infinito? Y también más rápido de lo que exactamente? Si $ n $ es constante y $ x $ crece hasta el infinito y $ \frac{e^x}{x^n} $ tiende a infinito y no cero o uno esta me dice que $ e^x $ es cada vez más grande de $ x^n $ y alcanzar una magnitud que no es de la misma orden . . . pero lo que hace que la desigualdad tiene que ver con algo? ¿Qué es $ \frac{x}{(n+1)!} $ y cómo se relacionan con el tema en cuestión?

Answer 1

De lo que mencionas, que \begin{align*} e^x > \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \end{align*} para cada $n$, podemos multiplicar ambos lados por $x^{-n}$ encontrar \begin{align*} x^{-n}e^x > \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}x^{-n}. \end{align*} Pero el lado derecho es, simplemente,$x/(n+1)!$, por lo que fija $n$, el lado izquierdo tiende a infinito como $x$ tiende a infinito. Por lo tanto, la desigualdad está diciendo es que no importa lo que el poder de elegir, de decir $x^{-n}$, cuando se multiplican $e^x$ por medio de este poder, que siempre tienen algo que tiende a infinito.

Si hubo algún poder de $x$, decir $x^m$ que creció tan rápido o más rápido de lo $e^x$, tendría que $x^{-m}$ podría reducir demasiado rápido para $x^{-m}e^x$ a que tienden a infinito.

Tal vez una manera fácil de ver que sería para tratar con los poderes de $x$. Si tenemos algunos enteros $n$$m$, entonces si $n > m$, ¿qué $x^{-n}x^m$ $x$ tiende a infinito? Lo que si $n=m$? Por último, ¿qué pasa si $n < m$?

Ahora con $e^x$ siempre tenemos la desigualdad $x^{-n}e^x > \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}x^{-n}$ por cada elección de $n$, por lo que no hay poder de $x$ que crece más rápido.

Answer 2

Creo que el corazón de la dificultad es la comprensión de lo que significa la declaración de que la función tiende a infinito más rápido que el otro.

Deje $f(x) = 2x$$g(x) = 3x$; la proporción de $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$, independientemente de $x$, por lo que podemos decir que el $f(x)$ $g(x)$ tienden a infinito a la misma tasa como $x\to\infty$. Esto es simplemente lo que se entiende por "tienden a infinito en el mismo ritmo', al menos en el caso ideal. Ahora vamos a $f(x) = 2x+1$$g(x) = 3x+1$; ya no es cierto que $\frac{f(x)}{g(x)}$ es una constante, pero es cierto que $\frac{f(x)}{g(x)} \to \frac{2}{3}$$x\to\infty$, así que todavía puede razonablemente decir que $f(x)$ $g(x)$ tienden a infinito en la misma proporción. Por último, vamos a $f(x) = 2x + x\sin x$$g(x) = 3x$; ahora $\frac{f(x)}{g(x)}$ ni siquiera tiene un límite de $x\to\infty$, pero $x \le f(x) \le 3x$, lo $\frac{f(x)}{g(x)}$ es siempre entre el$\frac{1}{3}$$1$. En este caso, por lo menos podemos decir que $f(x)$ $g(x)$ ir hasta el infinito casi a la misma velocidad: ni consistentemente mayor que los otros. (Ver este artículo en la Notación Big O, especialmente, el Gran $\Theta$ notación.

Extendiendo esta idea, si la relación $\frac{f(x)}{g(x)}$ sí va al infinito como $x\to\infty$, podemos decir que el $f(x)$ va al infinito más rápido que $g(x)$: $x$ aumenta, $f(x)$ obtiene más y más por delante de $g(x)$, en el sentido de que se convierte en una más grande y más grande múltiples de $g(x)$.

Ahora aplicar esto a las funciones de $f(x) = e^x$ $g(x) = x^n$ para algunos fijos $n$: $\frac{e^x}{x^n} = x^{-n}e^x > \frac{x}{(n+1)!}$, y, ciertamente, $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x}{(n+1)!} = \infty$ fijos $n$, lo $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^n} = \infty$, es decir, $e^x$ tiende a infinito más rápido que $x^n$.

Answer 3

Imagina que $n$ es un fijo número. Que es muy importante para el argumento. Si te gusta, imagina que $n=20000$. En la segunda lectura, imagino que $n=10000000$.

Para cualquier entero positivo $N$, vamos a $F(N)=N(n+1)!$. Entonces, por la desigualdad que usted cita, si $x \gt F(N)$, luego $$x^{-n}e^x \gt\frac{x}{(n+1)!}\gt N.$$ Así que, dado que cualquier $N$, después de un tiempo (más precisamente, si $x \gt F(N)$), tendremos $x^{-n}e^x>N$. Eso es precisamente lo que se entiende por "$e^x$ tiende a infinito más rápidamente" que $x^n$. De manera informal, para cualquier fijo $n$, $e^x$ es en última instancia, mucho más grande de lo $x^n$, en el sentido de que cuando dividimos $e^x$$x^n$, o lo que es equivalente a multiplicar $e^x$$x^{-n}$, el resultado es todavía, después de un tiempo, enorme. En el largo plazo, para cualquier fijo $n$, $e^x$ beats $x^n$, por mucho.

Me gustaría ser un poco más cómodo reformulación del argumento de la siguiente manera. Fix $n$. Queremos mostrar que $\dfrac{x^n}{e^x}$ enfoques $0$$x \to \infty$. Esta es otra manera de decir que en el largo plazo, $e^x$ beats $x^n$.

La misma desigualdad muestra que si $x\gt F(N)$ $$\frac{x^n}{e^x}<\frac{1}{N}.$$ Así que a pesar de lo cercano queremos $\dfrac{x^n}{e^x}$$0$, por la elección de $x$ lo suficientemente grande, podemos hacer que cerrar (o más). En el largo plazo, $e^x$ es mucho mayor que $x^n$.