Prueba $\lim_{k \rightarrow \infty} \int_{0}^{k} x^n(1-k^{-1}x)^{k}dx = n!$

Question

Necesito mostrar el siguiente límite

$\lim_{k \rightarrow \infty} \int_{0}^{k} x^n(1-k^{-1}x)^{k}dx = n!$ He intentado utilizar la expansión binomial de $(1-x)^k$ pero no me lleva a ninguna parte. tal vez tengo que usar DCT

Por favor, ayúdenme.

Answer 1

Utilizando $t=\dfrac{x}{k}$ Ahora la integral es $$\int_0^1k^{n+1}t^n(1-t)^k\text{d}t=-\int_0^1\frac{k^{n+1}}{k+1}t^n\text{d}(1-t)^{k+1}$$ Mediante integración por partes, entonces podemos encontrar \begin{split} \int_0^1k^{n+1}t^n(1-t)^k\text{d}t&=n\int_0^1\frac{k^{n+1}}{k+1}t^{n-1}(1-t)^{k+1}\text{d}t\\ &=-n\int_0^{1}\frac{k^{n+1}}{(k+1)(k+2)}t^{n-1}\text{d}(1-t)^{k+2}\\ &=n(n-1)\int_0^{1}\frac{k^{n+1}}{(k+1)(k+2)}t^{n-2}(1-t)^{k+2}\text{d}t\\ &=\cdots\\ &=n!\int_0^1\frac{k^{n+1}}{(k+1)(k+2)\cdots(k+n)}(1-t)^{k+n}\text{d}t\\ &=n!\frac{k^{n+1}}{(k+1)(k+2)\cdots(k+n)(k+n+1)} \end{split} Así, \begin{split} \lim_{k\rightarrow\infty}\int_0^1k^{n+1}t^n(1-t)^k\text{d}t &=\lim_{k\rightarrow\infty}n!\frac{k^{n+1}}{(k+1)(k+2)\cdots(k+n)(k+n+1)}\\ &=n! \end{split} Espero que esto pueda ayudarte.

Answer 2

Sugerencia: Intente utilizar el hecho de que $\lim_{k\to\infty}(1+r/k)^k=e^r$ junto con el DCT. Para aplicar la DCT, se puede utilizar la desigualdad $1-x \leq e^{-x}$ .