Nótese que en este caso tendremos:
$$E_{x\sim p(x)}[q(x)]=E_{x\sim q(x)}[p(x)]=\int_{x\in \mathcal{X}} p(x)q(x)dx$$ $$=\int_{x\in \mathcal{X}} \left(\frac{1}{|2\pi \Sigma_p|^\frac{-1}{2}}e^{-\frac{1}{2}(x-\mu_p)^T\Sigma_p^{-1}(x-\mu_p)}\right)\left(\frac{1}{|2\pi \Sigma_q|^\frac{-1}{2}}e^{-\frac{1}{2}(x-\mu_q)^T\Sigma_q^{-1}(x-\mu_q)}\right)dx$$
$$=\int_{x\in \mathcal{X}} \frac{1}{|2\pi \Sigma_p|^\frac{-1}{2}|2\pi \Sigma_q|^\frac{-1}{2}}e^{-\frac{1}{2}\left((x-\mu_p)^T\Sigma_p^{-1}(x-\mu_p)+(x-\mu_q)^T\Sigma_q^{-1}(x-\mu_q)\right)}dx$$
Ahora sigue adelante y, expande $(x-\mu_p)^T\Sigma_p^{-1}(x-\mu_p)+(x-\mu_q)^T\Sigma_q^{-1}(x-\mu_q)$ y reagrupar los términos a conseguir: $$(x-\mu_p)^T\Sigma_p^{-1}(x-\mu_p)+(x-\mu_q)^T\Sigma_q^{-1}(x-\mu_q)=x^TAx+b^Tx+d$$
A continuación, se calcula el álgebra para obtener $\Sigma$ y $\mu$ tal que:
$$x^TAx+b^Tx+d=(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)+F$$
Después de esto tendrás algo así:
$$E_{x\sim q(x)}[p(x)]=\frac{e^{\frac{-1}{2}F} |2\pi \Sigma|^\frac{-1}{2}}{|2\pi \Sigma_p|^\frac{-1}{2}|2\pi \Sigma_q|^\frac{-1}{2}} \int_{x\in \mathcal{X}}\frac{1}{|2\pi \Sigma|^\frac{-1}{2}}e^{-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)}dx$$
$\int_{x\in \mathcal{X}}\frac{1}{|2\pi \Sigma|^\frac{-1}{2}}e^{-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)}dx=1$ así que tendrás..:
$$E_{x\sim q(x)}[p(x)]=\frac{e^{\frac{-1}{2}F} |2\pi \Sigma|^\frac{-1}{2}}{|2\pi \Sigma_p|^\frac{-1}{2}|2\pi \Sigma_q|^\frac{-1}{2}} $$
Editar
$$(x-\mu_p)^T\Sigma_p^{-1}(x-\mu_p)+(x-\mu_q)^T\Sigma_q^{-1}(x-\mu_q)=x^T(\Sigma_p^{-1}+\Sigma_q^{-1})x+(-2\mu_p^T\Sigma_p^{-1}-2\mu_q^T\Sigma_q^{-1})x+(\mu_p^T\Sigma_p^{-1}\mu_p+\mu_q^T\Sigma_q^{-1}\mu_q)$$
Dejemos que $A=\Sigma_p^{-1}+\Sigma_q^{-1}$ , $b=(-2\mu_p^T\Sigma_p^{-1}-2\mu_q^T\Sigma_q^{-1})^T$ y $d=\mu_p^T\Sigma_p^{-1}\mu_p+\mu_q^T\Sigma_q^{-1}\mu_q$ .
Ahora deberíamos encontrar $\Sigma$ , $\mu$ y $F$ tenemos :
$$(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)=x^T\Sigma x-2\mu^T\Sigma^{-1}x+\mu^T \Sigma^{-1} \mu $$
Déjalo: $$x^TAx+b^Tx+d=x^T\Sigma^{-1} x-2\mu^T\Sigma^{-1}x+\mu^T \Sigma^{-1} \mu +F$$
$$\Sigma^{-1}=A=\Sigma_p^{-1}+\Sigma_q^{-1}\Rightarrow \Sigma=\left(\Sigma_p^{-1}+\Sigma_q^{-1}\right)^{-1}$$
$$b^{T}=-2\mu^T\Sigma^{-1}\Rightarrow \mu=-\frac{1}{2}\Sigma b=-\frac{1}{2}\left(\Sigma_p^{-1}+\Sigma_q^{-1}\right)^{-1} (-2\mu_p^T\Sigma_p^{-1}-2\mu_q^T\Sigma_q^{-1})^T$$
$$\Rightarrow \mu=\left(\Sigma_p^{-1}+\Sigma_q^{-1}\right)^{-1} (\Sigma_p^{-1}\mu_p+\Sigma_q^{-1}\mu_q)$$
$$F=d-\mu^T \Sigma^{-1} \mu$$ $$\Rightarrow F=\mu_p^T\Sigma_p^{-1}\mu_p+\mu_q^T\Sigma_q^{-1}\mu_q-\mu^T \Sigma^{-1} \mu$$
$$E_{x\sim q(x)}[p(x)]=\frac{e^{\frac{-1}{2}F} |2\pi \Sigma|^\frac{-1}{2}}{|2\pi \Sigma_p|^\frac{-1}{2}|2\pi \Sigma_q|^\frac{-1}{2}} $$
Tenga en cuenta que, el resultado es sólo un escalar, por favor, hágamelo saber si tiene más preguntas :)
