un grupo con órdenes específicas de los elementos de

Question

Quiero encontrar un grupo con elementos de orden $1,2,3,4$ $5$ (al menos uno de cada pedido). Todo lo que puedo decir es que el orden del grupo es $60$ sí, pero no puede encontrar la correcta.
Por favor, hágamelo saber acerca de sus soluciones.

Answer 1

Un ejemplo es la alternancia de grupo $A_6$.

Todos los grupos con esta propiedad, se han clasificado en los siguientes papel.

R. Brandl y W. J. Shi, grupos Finitos, cuyo elemento órdenes son números enteros consecutivos, J. Álgebra 143, (1991), 388-400. DOI

En el artículo anterior Brandl y Shi clasificar a todos los grupos finitos que tienen al menos un elemento de orden $1,\ 2,\ \ldots,\ n$, y ninguno de cualquier otro orden. Resulta que estos grupos existen sólo para $n \leq 8$. Otro resultado interesante es que un grupo finito $G$$\{1,2,3,4,5,6,7\}$, su conjunto de elemento órdenes si y sólo si $G \cong A_7$.

Answer 2

Si realmente insisten en que su grupo no un elemento de orden $4,$, entonces no hay tal grupo de orden $60$ la satisfacción de las condiciones: si $G$ eran de un grupo, de una manera cíclica Sylow $2$-subgrupo y, a continuación, un subgrupo normal $N$ orden $15,$ y, además, $N$ sería cíclico, por lo que habría un elemento de orden $15$ (gracias al comentario de Hagen von Eitzen para acortar el argumento). Claramente un grupo de orden $60$ tiene para contener los elementos de orden $1,2,3$ $5,$ y solo hay un grupo de orden $60$ hasta el isomorfismo que contiene elementos de todos estos pedidos.