Dados cuatro números complejos $z_1, z_2, z_3$ $z_4,$ demostrar que mienten en un círculo.

Question

Dados cuatro números complejos $z_1, z_2, z_3$, e $z_4,$ demostrar que mienten en un círculo si $$\arg\left(\frac{z_4-z_1}{z_4-z_2}\right)=\arg\left(\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}\right).$$ ¿Cómo puedo interpretar esta igualdad? Y ¿cómo puedo mostrar esta afirmación? Necesito un poco de ayuda. Gracias.

Answer 1

Creo que de $z_1, z_2, z_3, z_4$ como cuatro puntos en el plano con $z_1$ $z_2$ la base de puntos de dos ángulos con cumbres $z_3$, $z_4$. A continuación, la condición de los estados que los ángulos subtendido por $z_4$ $z_3$ $z_1$ $z_2$ son iguales. Esta es la condición elemental de la geometría de cuatro puntos para ser co-cíclico. Desde el ángulo subtendido por un punto sobre el círculo es la mitad del ángulo subtendido por el centro.

Answer 2

Primero de todo,

$$\arg\left(\frac{z_4-z_1}{z_4-z_2}\right)$$

representa el ángulo de $\angle Z_2 Z_4 Z_1$. Del mismo modo

$$\arg\left(\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}\right)$$

representa el ángulo de $\angle Z_2 Z_3 Z_1$. Esto es debido a que al dividir dos números complejos, se resta de los ángulos y no nos preocupamos de las magnitudes. Euler del formulario para los números complejos se hace un poco más claro:

$$M_1 e^ {\theta_1} \div M_2 e^ {\theta_2} = \frac{M_1}{M_2}e^{\theta_1 - \theta_2}$$

Combine eso con:

http://en.wikipedia.org/wiki/Inscribed_angle_theorem#Theorem

El $A$ $B$ en la wikipedia gráfico se su $z_1$$z_2$.

Answer 3

Para una prueba algebraica puede hacerlo de esta manera. Supongamos que $${\rm arg}\Bigl(\frac{z-z_1}{z-z_2}\Bigr)=\alpha\ .\tag{$*$}$$ Deje que el módulo del término entre corchetes se $r$; luego tenemos $$\frac{z-z_1}{z-z_2}=re^{i\alpha}\ .$$ Multiplicando y teniendo conjugados, $a$z-z_1=(z-z_2)re^{i\alpha}\quad\hbox{y}\quad \overline z-\overline{z_1}=(\overline z-\overline{z_2})re^{-i\alpha}\ .$$ La eliminación de $r$ a partir de estas ecuaciones da $$(z-z_1)(\overline z-\overline{z_2})e^{-i\alpha} =(\overline z-\overline{z_1})(z-z_2)e^{i\alpha}\ ;$$ recopilación de términos similares, $a$z\overline z(e^{-i\alfa}-e^{i\alpha}) -z(\overline{z_2}e^{-i\alfa}-\overline{z_1}e^{i\alpha}) -\overline z(z_1e^{-i\alfa}-z_2e^{i\alpha}) =z_1\overline{z_2}e^{-i\alfa}-\overline{z_1}z_2e^{i\alpha}.$$ Ahora si $\alpha=n\pi$ $(*)$ es la ecuación de una recta; a partir de ahora suponga $\alpha\ne n\pi$. A continuación, $e^{-i\alpha}-e^{i\alpha}$ no es cero. Si escribimos $$c=\frac{z_2e^{i\alfa}-z_1e^{-i\alpha}}{e^{i\alfa}-e^{-i\alpha}} \quad\hbox{y}\quad R=\left|\frac{z_1-z_2}{e^{i\alfa}-e^{-i\alpha}}\right|\ ,$$ a continuación, $R$ es un número real positivo (asumiendo $z_1\ne z_2$), y después de un poco de una lucha en la que nos puede mostrar que la ecuación anterior se convierte en $$z\overline z-z\overline c-\overline zc+c\overline c=R\ ,$$ en otras palabras $$|z-c|=\sqrt R\ .$$ Esta es la ecuación de la circunferencia con centro de $c$, pasando a través de$z_1$$z_2$; desde su $z_3$ $z_4$ tanto satisfacer $(*)$, ambos se encuentran en este círculo.