Diferenciable en

Question

Demostrar $f(x,y)$ no es diferenciable en ($0,0)$

$$f(x,y)= \begin{cases}\dfrac{|x|y}{\sqrt{x^2+y^2}}& \text{if } (x,y)\not =0\\ \\ 0&\text{if } (x,y)=0 \end{casos} $$

Trato de demostrar mediante la existencia del límite.

Deje $y=x$$x\not = 0$, luego

$$f(x,y)=\frac{|x|x}{\sqrt{x^2+x^2}}=\frac{|x|x}{x\sqrt{2}}=\frac{|x|}{\sqrt{2}}$$

Y $\lim_{x\rightarrow 0}f(x,y)=0.$

Por otra parte, vamos a $x=my$ $$f(x,y)=\frac{|my|y}{\sqrt{m^2y^2+y^2}}=\frac{m|y|y}{\sqrt{y^2(m^2+1)}}=\frac{m|y|}{\sqrt{(m^2+1)}}$$

Esto implica $\lim_{y\rightarrow 0}f(x,y)=0.$

Probar otra trayectories pero que no funcionan. Alguien me puede ayudar con esto?

Answer 1

Si fuera diferenciable en a $(0,0)$, la correspondiente Jocobian es de las derivadas parciales en $(0,0)$, que se puede calcular el Jacobiano es en realidad el cero mapa así.

Así que usted puede tratar de conseguir una contradicción con la existencia de \begin{align*} \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\dfrac{|x|y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\dfrac{|x|y}{x^{2}+y^{2}}. \end{align*} Para $y=mx$, $x>0$, entonces \begin{align*} \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{mx^{2}}{x^{2}+m^{2}x^{2}}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{m}{1+m^{2}}=\dfrac{m}{1+m^{2}}, \end{align*} que varía a lo largo de con $m$.

Answer 2

Verificación de la definición que las derivadas parciales de $f$ $(0,0)$ $0.$ si $Df(0,0)$ existe, es igual a la $0$ transformación lineal. No tendría, entonces, que todas las derivadas direccionales en $(0,0)$ $0.$ Pero

$$\frac{f(x,x) -f(0,0)}{x} = \frac{|x|x/(\sqrt 2 |x|)}{x} = \frac{1}{\sqrt 2},$$

que no $\to 0,$ contradicción. Por lo tanto $Df(0,0)$ no xist.