Si $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ tiene coordenadas $f^1 \ldots f^m$, y cada una de las $f^i$ es diferenciable en a $0$...

Question

...entonces no se sigue que la $f$ es diferenciable en 0?

Mi motivación para hacer esta es la siguiente: en la Spivak del Cálculo de los Colectores, en el teorema 2.9, él usa esta con la condición adicional de que cada una de las $f^i$ es continuamente diferenciable en un nbh de 0, a la conclusión de que la $f$ es diferenciable y creo que no es necesario.

Es decir, si cada una de las $f^i$ ha derivado $Df^i$, yo reclamo la matriz con $i^{th}$ fila $Df^i$ servirá como $Df$. De hecho, vamos a $v_j$ ser una secuencia tiende a 0 en $\mathbb{R}^n$, tenemos (por la desigualdad de triángulo, si usted desea)$$\frac{| f(v_j) - f(0) - \sum_i Df^i(v) |}{|v_j|} \leqslant \frac{\sum_i |f^i(v_j) - f^i(0) - Df^i(v_j)|}{|v_j|}$$Taking the limit as $j \rightarrow \infty$, each summand goes to 0 by the differentiability of $Df^i$ (and there's only $m$ de ellos), por lo tanto el límite es 0.

Es esto un error? Gracias de antemano!

EDIT: btw, condicional en la anterior prueba está a la derecha y/o la reivindicación, ¿alguien sabe tal vez lo que Spivak estaba pasando?

Answer 1

En caso de que esto es útil para nadie, que me grabe los comentarios de Georges Elencwajg y Dylan Moreland-la respuesta es sí, es verdad, y la condición de Spivak es superfluo.

La prueba es el forro que escribí anteriormente, aunque con mejor notación: Si $\lambda^i$ son los derivados de la $f^i$ a 0, yo reclamo la matriz con $i^{th}$ fila $\lambda^i$ servirá como $Df(0)$. De hecho, hemos $$\frac{|f(v) - f(0) - \lambda^i(v)e_i|}{|v|} \leqslant \sum_i \frac{|f^i(v) - f^i(0) - \lambda^i(v)|}{|v|}$$Taking any $v_i \rightarrow 0$, applying the above inequality, and using the differentiability of each $f^i$ a 0 da el resultado.

Gracias a todos por la ayuda!

Answer 2

El "continuamente diferenciable" condición de las derivadas parciales es esencial para mostrar que $f$ es diferenciable $0$. Esta es la canónica contraejemplo $$f(x,y) = \left\{ \begin{array}{lr} \frac{x^2y}{x^2+y^2} & \text{if } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{if } x = (0,0) \end{array} \right.$$