Cómo demostrar la regla de l'Hospital para $\infty/\infty$

Question

Tengo problemas con esta página wiki de la regla de l'Hospital (la prueba de la regla de l'Hospital):

http://en.wikipedia.org/wiki/LHospital%27s_rule

Bueno, en el caso de que el límite se parezca a $0/0$ es bastante fácil de entender. Por el contrario, el otro caso ( $\infty/\infty$ caso) es desconcertante. Las notaciones como 'liminf', 'limsup', etc. me confunden aún más.(No puedo entender)

Sería de gran ayuda si se puede explicar la prueba paso a paso.

Answer 1

El caso $\frac{0}{0}$ es una consecuencia inmediata del Teorema del Valor Medio de Cauchy.

$\frac{\infty}{\infty}$ también se puede demostrar de la misma manera, pero es un poco más técnico ya que hay que tener cuidado con el intervalo donde se aplica este Teorema.

A ver si lo recuerdo:

Prueba para $\frac{\infty}{\infty}$

Dejemos que $\lim_{x \to c} f(x) =\lim_{x \to c} g(x) =+\infty$ (los otros casos se pueden obtener a partir de esto sustituyendo $f,g$ por $\pm f, \pm g$ .

Supongamos que $\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}=l$ y que $g'$ no se desvanece cerca de $c$ .

Demostraré que $\lim_{x \to c^-} \frac{f(x)}{g(x)}=l$ El límite del otro lado es idéntico.

Dejemos que $\epsilon >0$ . Entonces, existe un $\delta>0$ tal que

$$\left| \frac{f'(x)}{g'(x)}- l \right| < \epsilon $$ para todos $c- \delta < x <c$ .

Por el teorema del valor medio de Cauchy, para cada $c- \delta < x <c$ existe algún $y_x \in (c_\epsilon, x)$ tal que

$$\frac{f(x)-f(c- \delta)}{g(x)-g(c-\delta)} = \frac{f'(y_x)}{g'(y_x)}$$

Por lo tanto, para cada $\epsilon >0$ existe alguna $\delta$ tal que para todo $c-\delta < x <c$ tenemos

$$ \left| \frac{f(x)-f(c- \delta)}{g(x)-g(c-\delta)}- l \right| < \epsilon $$

Ahora, utiliza el hecho de que $\lim_{x \to c} f(x) =\lim_{x \to c} g(x) =+\infty$ para demostrar que

$$\lim_{x \to c} \left( \frac{f(x)-f(c- \delta)}{g(x)-g(c-\delta)} -\frac{f(x)}{g(x)} \right) =0$$

Por lo tanto, existe algún $\delta' < \delta$ de modo que para todos $c- \delta' < x <c$ tenemos

$$ \left| \frac{f(x)-f(c- \delta)}{g(x)-g(c-\delta)} -\frac{f(x)}{g(x)} \right| < \epsilon \,.$$

Combinando las dos desigualdades se obtiene para $c- \delta' < x <c$ :

$$ \left| \frac{f(x)}{g(x)} - l \right| < 2\epsilon \,.$$

Añadido: Para demostrar

$$\lim_{x \to c} \left( \frac{f(x)-f(c- \delta)}{g(x)-g(c-\delta)} -\frac{f(x)}{g(x)} \right) =0$$

Tenga en cuenta que

$$ \frac{f(x)-f(c- \delta)}{g(x)-g(c-\delta)} -\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x)g(c-\delta)-g(x)f(c-\delta)}{g(x)\left( g(x)-g(c-\delta)\right)}\\ =\frac{f(x)g(c-\delta)}{g(x)\left( g(x)-g(c-\delta)\right)}-\frac{f(c-\delta)}{g(x)-g(c-\delta)}$$

Está claro que la segunda fracción va a $0$ La primera fracción sólo requiere un poco de esfuerzo.

Obsérvese que en este punto del argumento, $\epsilon$ y $\delta$ son fijos.

Ahora, para todos $c-\delta < x <c$ tenemos

$$ \left| \frac{f(x)-f(c- \delta)}{g(x)-g(c-\delta)}- l \right| < \epsilon$$

por lo tanto, para todos $c-\delta < x <c$ tenemos

$$|f(x)| \leq |f(x)-f(c- \delta)| +|f(c- \delta)| < (\epsilon+ |l|) |g(x)-g(c-\delta)|+|f(c- \delta)| \,.$$

Usando esta desigualdad, se obtiene inmediatamente que la primera fracción también va a $0$ .