Que el general de la transformación física para el número de espacio no exponenciación representan?

Question

La adición y la multiplicación puede ser definido de dos maneras, uno específicas y generales:

Además

• específicos: además se repite en aumento.

Este es específica y sub-óptimo, mientras que $2 + 4$ está definido, $2 + 1.3$ no es, como usted no puede repetir una acción $1.3$ veces.

• general: además es cambiar el número por el número.

Por ejemplo,$2 + 1.3$: Mantener la posición del número de la línea fija, el número de $2$ $1.3$ unidades en la dirección positiva (hacia la derecha). Esto hace sentido físico y en realidad se puede crear el número de espacios (líneas por simplicidad) y moverlos.

Para los números complejos, el componente imaginario se mueve arriba y abajo en lugar de a la derecha y a la izquierda para el componente real.

La multiplicación

• específicos: la multiplicación es una suma repetida

Igual que el anterior, ¿cómo se multiplican por un número decimal?

• general: la multiplicación ($a * b$) se extiende el segmento que va de $0$ $a$hasta que el segmento de $0$ $1$se hace tan largo como $b$

De nuevo, esto funciona para los decimales y hace sentido físico como usted puede imaginar, tomar un segmento de la goma y tirar de los extremos aparte de estirar y compararlo con el número original de la línea.

Multiplicar por un imaginario está girando en su lugar, que también se puede imaginar fácilmente haciendo (o de hecho) a un plano.

Exponenciación

• específicos: exponenciación es la multiplicación repetida

Igual que el anterior, ¿cómo puedo exponentiate por un número decimal?

• general: ???

• • ¿Qué es una representación física de la exponenciación que da una clara y rigurosa y la descripción general?
• • Podría también hablar de la exponenciación por los números complejos?
• • En otras palabras, si yo te di una goma plano complejo (o, más sencillamente, el número real de la línea) y le pidió que elevar un número a la potencia de otro número, ¿qué harías?
• • ¿Cómo se deforman para representar la operación de una manera intuitiva?

Answer 1

Ciertamente no soy un experto y aquí sólo voy a dar algunos de mis pensamientos sobre las preguntas planteadas y voy a hacerlo en la forma de una historia que espero que lo toque, al menos parcialmente, cada una de las preguntas planteadas en los principios generales de la exponenciación cuando estamos exponentiating en el campo de los reales y los números complejos.

En primer lugar, espero que se de cuenta que la función exponencial (digamos que es definida sobre los números reales) tienen su desarrollo en serie de Taylor de la representación que es $\exp(x)=e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac {x^n}{n!}$.

Ahora, vamos a escribir exactamente la misma representación de la función exponencial de la siguiente manera $e^x=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=0}^{n}\frac{x^i}{i!}$.

Así que, básicamente, la función exponencial $e^x$ es realmente, visto de esta manera, el límite de la secuencia de polinomios $P_n(x)=\sum_{i=0}^{n}\frac{x^i}{i!}$.

Así que, si realmente te gustaría saber en qué se hace exactamente la función exponencial, se deforma la línea real, entonces la respuesta es, claramente, depende de qué parte de la línea real ¿quieres investigar, debido a que la función exponencial no hacer lo mismo con algún intervalo de $(a,b)$ como se va a hacer a algún otro intervalo de $(c,d)$ si tenemos ese $a\neq c$$b\neq d$.

Así que, ¿dónde encontramos la razón para tal comportamiento de esta función?

La razón está en que la función exponencial es el límite de la secuencia de polinomios, y, si queremos entender qué es exactamente lo que hace la función exponencial de hacer para algunos intervalo de $(a,b)$ podríamos investigar de tal manera que se investiga lo que cada miembro de la secuencia de polinomios que converge a una función exponencial hacer para intervalo de $(a,b)$ y, ya que cuanto mayor es el grado del polinomio debemos tener una mejor idea de qué es exactamente lo que sucederá en el límite, o, en otras palabras, ¿qué función exponencial hacer para algún intervalo.

Cuando se ve de esta manera, la transformación física que se logra mediante la aplicación de la función exponencial en la línea real o en algún intervalo es sólo uno de un número infinito de transformaciones de la línea real, porque cada una de las funciones que converge a su serie de Taylor se representan algún tipo de transformación, y, debido a que cada función es el límite de la secuencia de polinomios, y debido a que dos polinomios de grado diferente de hacer dos diferentes transformaciones que podría ser que algunos generales trivial descripción de lo que, en particular, ¿la exponenciación hacer a la línea real, no será alcanzable.

Ahora, en el de los números complejos caso, la situación es, desde cierto punto de vista, quizá no tan esotérico.

Tenemos que en los números reales, en el caso de que la función exponencial es igual a su propio desarrollo en serie de Taylor, por lo que tenemos $e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac {x^n}{n!}$.

Ahora, ¿cuál es la forma más natural para definir la función exponencial sobre los números complejos?

Así, si escribimos en lugar de la variable real $x$ la variable compleja $z$ y en los dos lados de la expresión $e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac {x^n}{n!}$ hacer ese cambio, llegamos a la expresión $e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac {z^n}{n!}$.

Usted podría preguntar ¿qué hizo este cambio de variable?

Así, el cambio consiste en que ahora tenemos como datos de entrada el punto de $z=x+yi$, que es el punto en el plano y tenemos como salida el punto de $e^z=q+wi$ que es también el punto en el plano.

Y como la verdadera función exponencial fue el límite de la secuencia de polinomios es tan complejo de la función exponencial, y como la verdadera función exponencial deformado subconjuntos de la línea de la compleja función exponencial se deforman subconjuntos del plano y en el de los números complejos caso también se los polinomios de distinto grado diferente de cambio de forma, o de la deformación, de algún subconjunto, y la historia de los números complejos caso cuando hablamos acerca de la interpretación física de la exponenciación son similares cuando se habla de lo que será la exponenciación de alguna parte del avión, ¿a que parte del avión? Se pueden hacer cosas diferentes que dependen de qué parte exactamente de que el avión hizo decidimos investigar.

Podría/debería ser importante ser conscientes de que desde la función exponencial tanto en el real y complejo caso es el límite de la secuencia de polinomios que el cambio de la forma de alguna parte del dominio establecido, sea parte de la línea real en los números reales, en caso o de la parte del plano en los números complejos caso, puede ser approximable a lo que la precisión que queramos algunos polinomio en la secuencia de polinomios que tiene la función exponencial como su límite, y así podría ser que usted debe investigar polinomios para obtener una mejor comprensión de las funciones, que son el límite de ellos.

Espero que algunas cosas son más claras.

Answer 2

En realidad, hay dos respuestas a su pregunta, porque la exponenciación es la primera hyperoperation que no es conmutativa. La adición y la multiplicación son conmutativas, por lo que sólo puede ser al curry en una forma. Para explicar lo que quiero decir mejor, nos vemos en la multiplicación. Tenemos $f(x, y) = x \times y$. A partir de esto, podemos definir la "multiplicación por $x$"$m(x) = \lambda y \rightarrow f(x, y)$, es decir, la función que toma un $y$ y la asigna a $x \times y$. Pero también podría haber escogido $m(x) = \lambda y \rightarrow f(y, x)$. Sin embargo, dado que la multiplicación es conmutativa, no importa en la que podemos elegir. Es el mismo para la adición.

OK, entonces, ¿qué acerca de la exponenciación? Aquí, hay una gran diferencia: exponenciación no es conmutativa. Esto puede ser obvio, pero me voy a dar un ejemplo de todos modos: $3^2 = 9 \neq 8 = 2^3$. Derecho, por lo que hemos establecido que la conmutatividad se pierde. Entonces, ¿cómo es esto de cambiar las cosas? Bien, esto significa que ahora tenemos que considerar dos funciones. Configuración de una constante $a$, podemos mirar a la función de $p(x) = x^a$ o $g(x) = a^x$. Generalmente hablando, el último se llama exponencial y la ex de un polinomio, pero ambos utilizan la exponenciación. La diferencia es que en un polinomio, la base varía y el exponente permanece fija, mientras que en el segundo es la base que permanece fijo, mientras que el exponente varía. Así que para responder a su pregunta, debemos considerar estas dos funciones completamente diferentes. Para mantener las cosas simples, voy a centrarme sólo en la recta real.

Función polinómica: Considere la función $p(x) = x^a$. Lo que hace a la línea real? Nos vamos a centrar sólo en el real positiva de la línea: el real negativo de la línea es muy interesante en su propio derecho, pero nos encontramos con el complejo de valores no enteros,$a$, así que para mantener las cosas simples me voy a omitir la discusión de esto por ahora. Derecho, por lo que para que esta función sea muy interesante, tenemos $a \neq 0$, de lo contrario sólo tenemos $p(x) = x^0 = 1$; en otras palabras, todos los puntos se ve aplastado en el punto de $1$. Si $a$ es negativo, entonces debemos considerar en primer lugar lo que la función de $\lambda x \rightarrow \frac{1}{x}$ hace, así que voy a dejar esto por ahora. Por lo que se centran en un aspecto positivo $a$. ¿Qué hacer? Hay tres casos a considerar:

• $a=1$ es aburrido. Simplemente deja todos los puntos de la virgen.
• $0 < a < 1$ se pueden visualizar de la siguiente manera. Imaginar el punto de $1$, como en una especie de pozo de gravedad cuya fuerza aumenta a medida $a$ se hace más pequeño. Todos los puntos de "absorbe" hacia la $1$, desde el derecho y el lado izquierdo. El menor $a$, la más grave de esta "chupando" es, hasta en $a = 0$, todos los puntos de obtener aspirado en una singularidad. En el otro extremo, $a=1$ nos da la aburrida caso anterior, donde no hay gravedad cero.
• $a > 1$ pueden ser visualizadas de manera similar a la anterior, pero con todos los puntos, siendo repelidos lejos de $1$. Basta pensar, como estábamos de vuelta al interruptor de$a < 1$$a = 1$, la gravedad es siempre decreciente, luego se fue por completo, y ahora como aumentar el $a$ sobre $1$, podemos invertir la dirección de la fuerza. El mayor $a$, más los puntos de empujó lejos de $1$. Pero tenga en cuenta que los puntos no menos de $1$ conseguir que se inserta en la negativa del eje: sólo se abultan más y más a $0$.

Función exponencial: ahora explorar $g(x) = a^x$. De nuevo, voy a ignorar negativo $a$ con el fin de evitar entrar en el dominio de los números complejos. Yo también voy a evitar $0^x$ porque esto es sólo $0$ todas partes, excepto en $0$, donde es $1$, así que no es realmente un suave transformación. Eso nos deja con un valor positivo para $a$. Además, sólo tendremos que considerar la posibilidad de $a>1$, debido a $a=1$ es el aburrido función constante, y $0 < a < 1$ da la imagen en el espejo de alguna función $a > 1$, por lo que acabamos de estudiar el último y observe la simetría. Entonces, ¿qué $a^x$ aspecto sobre el número real de la línea, para algunos $a > 1$?

• Para $x < 0$, estamos mirando en todo el eje real negativo. Este eje presenta aplastado en el intervalo abierto $(0, 1)$. Ningún valor obtiene asignada a $0$. Podemos imaginar esto como la función exponencial de ser una increíblemente fuerte aspiradora capaz de aspirar a todo infinitamente larga negativo eje real en el abierto de la unidad de intervalo.

• $a^0 = 1$, es decir, la función exponencial, siempre asigna el valor de $0$ a $1$. Esto es interesante, porque es independiente del valor de $a$. Es como si la asignación de $0$ $1$es más concreto que el resto, que varían con $a$.

• Para $x > 0$ la función exponencial, se extiende la recta numérica real en un no-uniforme. Hay una sutil pero importante diferencia a la multiplicación. Con la multiplicación, estirar todos los puntos uniformemente decir, de realizar todas las distancias de escala hasta por el importe $a$. Con la exponenciación, se estira más y más cuanto más a la derecha se va. Es decir, los puntos se estiran más y más, aparte de la más a la derecha se va. Ligeramente más precisamente, imagínese multiplicar $x + d$$a$. Primero estirar $x$$a$, en relación a ese punto, es traducir (agregar) por $d$, y luego tirar de ella por $a$. Tenga en cuenta que el estiramiento de $d$ $a$ es independiente de $x$ es decir, que sólo estirar la $d$, no el resto. Esto es simplemente la distributividad de la ley para la adición y la multiplicación. Exponentiating $a$ $x + d$ es diferente. Primero exponentiate $x^a$, luego de estirar esta por $x^d$. En otras palabras, la cantidad por la que se estira en la función exponencial, es en relación a lo mucho que ya han estirado, mientras que con la multiplicación, el estiramiento es constante.

Hay mucho más que podría haber cubierto en esta respuesta, en particular la ampliación de este razonamiento para el complejo de dominio y dar más precisas definiciones matemáticas. Sin embargo, me eligió en lugar de concentrarse en algunos casos especiales en los detalles, y visualizar donde van las cosas, en lugar de tratar de cubrir todo. A la luz de esto hay un montón de posibilidades para que otros para responder a esta pregunta y cubrir estos conceptos adicionales. Veo Ante Paladín ya ha hecho algunos progresos hacia la consecución de este fin.