Existencia de la raíz cuadrada

Question

Estoy estudiando por mi cuenta el análisis real por diversión y me encontré con la siguiente pregunta (de Primer curso de análisis real de Berberian).

(i) Demuestra lo siguiente: Si $r$ es un número real tal que $0 \leq r \leq 1$ entonces existe un único número real $s$ tal que $0 \leq s \leq 1$ y $s^2 = r$ .

(ii) Generalice (i) a lo siguiente: Si $a \in \mathbb{R}$ , $a \geq 0$ entonces existe un único $b \in \mathbb{R}$ , $b \geq 0$ tal que $b^2 = a$ .

Poner $y = 1-r$ y $x = 1-s$ . Entonces queremos encontrar un número real $x \in [0,1]$ tal que $(1-x)^2 = 1-y$ . Estoy tratando de encontrar una secuencia creciente $(x_n)$ tal que $0 \leq x_n \leq 1$ (definido recursivamente).

Para (ii), ¿cómo podría utilizar (i) para obtener el resultado?

Answer 1

Si se utilizan axiomas de completitud (como la existencia del mínimo límite superior (LUB) de un conjunto acotado por encima) entonces (si no recuerdo mal) el enfoque "estándar" es considerar (suponiendo $r \in (0,1)$ )

$$S = \{ x : x^2 \lt r, \ x \in [0,1]\}$$

y demostrar que el LUB (o supremum) $l$ de $S$ satisface $l^2 = r$ mostrando

(Sugerencia)

$l^2 \le r$ y que si $l^2 \lt r$ entonces hay algo de $s \gt l$ tal que $s^2 \lt r$

(Spoiler)

Dado cualquier $\epsilon \gt 0$ Hay un $x \in S$ tal que $x \gt l - \epsilon$ .
Cuadrando y utilizando el hecho de que $l \lt 1$ (¿Por qué?) lleva a $r \gt l^2 - 2 \epsilon$
Esto implica que $l^2 \le r$ (¿Por qué?)

Si $a = r - l^2 \gt 0$ entonces tenemos que al elegir $\epsilon = \frac{a}{3}$ que $\epsilon \lt 1$ (¿Por qué?) y $a \gt 2\epsilon + \epsilon^2 \gt 2 \epsilon l + \epsilon^2$ y por lo tanto $r \gt (l + \epsilon)^2 = s^2$ con $s \gt l$ .
También podemos demostrar que $s \lt 1$ y por lo tanto $s \in S$ contradiciendo que $l = \sup S$

Obsérvese que la prueba anterior da lugar a la secuencia

$x_{n+1} = x_n + \dfrac{r - x_n^2}{3}$ que es bastante similar a la secuencia de Henry.

Por lo que he podido ver en Google books, el libro que utilizas sí utiliza ese axioma.

Answer 2

(i) Sea $s_0 = r$ y $s_{n+1} = s_n + \dfrac{r-s_n^2}{2}$

(ii) Si $a \gt 1$ , dejemos que $r=\dfrac{1}{a}$ y utilizar (i)