mostrar que $\int_{0}^{\pi/2}\ln(\tan x)dx=0$

Question

mostrar que $$\int_{0}^{\pi/2}\ln(\tan x)dx=0$$

el uso de dos maneras, La primera con el análisis real y el segundo con el contorno de integración

Answer 1

Sugerencia: Para el cálculo de enfoque, tenga en cuenta que $\tan(\pi/2-x)=\frac{1}{\tan x}$. Para dividir el intervalo en $0$$\pi/4$, e $\pi/4$$\pi/2$. Para la segunda mitad, hacer el cambio de variable $x=\pi/2-u$.

Cuando hacemos el cambio de variable, tenemos que vadear a través de una maraña de signos menos. Uno viene de $dx=-du$; la otra proviene del hecho de que la integración de los límites será en el "mal"; y una tercera proviene de $\ln(1/t)=-\ln(t)$.

Answer 2

El uso de Cameron (ahora suprimido) comentan que la integral es $$\int_0^\infty \frac{\log x}{1+x^2}dx$$ split at $x=1$ and use $x\mapsto x^{-1}$.

Answer 3

Va de @PeterTamaroff de forma integral,

$$\int_0^{\infty} dx \frac{\log{x}}{1+x^2}$$

podemos emplear un contorno de integración. Considere la integral

$$\oint_C dz \frac{\log^2{z}}{1+z^2}$$

donde $C$ es un ojo de la cerradura de contorno sobre el eje real positivo. La integral se desvanece a lo largo del interior y exterior circular contornos sobre el origen. El contorno de la integral es entonces igual a la integral hacia arriba y hacia atrás a lo largo del eje real positivo. Recordando que, por debajo del eje, $z=x e^{i 2 \pi}$, podemos escribir la iintegral como

$$\int_0^{\infty} dx \frac{\log^2{x}-(\log{x}+i 2 \pi)^2}{1+x^2} = -i 4 \pi \int_0^{\infty} dx \frac{\log{x}}{1+x^2} +4 \pi^2 \int_0^{\infty}\frac{dx}{1+x^2}$$

Esta integral es igual a $i 2 \pi$ veces la suma de los residuos en los polos $z=\pm i $ o$z_1 = e^{i \pi/2}$$z_2=e^{i 3 \pi/2}$:

$$i 2 \pi \left ( \frac{-\pi^2/4}{2 i} + \frac{-9 \pi^2/4}{-2 i}\right )= 2 \pi^3$$

Sabiendo que

$$\int_0^{\infty}\frac{dx}{1+x^2} = \frac{\pi}{2}$$

tenemos

$$-i 4 \pi \int_0^{\infty} dx \frac{\log{x}}{1+x^2} +2 \pi^3 =2 \pi^3$$

o

$$\int_0^{\infty} dx \frac{\log{x}}{1+x^2} = 0$$

Answer 4

Como $\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx,$

$$I=\int_0^{\frac\pi2}\ln(\tan x) dx=\int_0^{\frac\pi2}\ln\left(\tan \left(\frac\pi2+0-x\right)\right) dx=\int_0^{\frac\pi2}\ln(\cot x) dx$$ $$=\int_0^{\frac\pi2}\ln (\tan x)^{-1} dx=-\int_0^{\frac\pi2}\ln(\tan x) dx=-I$$

Answer 5

Considere la siguiente fórmula general

$$\tag{1}F(a,b) = \int^{\infty}_0 \frac{x^b}{x^2+a^2}\, \,dx $$

$$F(a,b) = \frac{1}{a^2}\,\int^{\infty}_0 \frac{x^b}{\frac{x^2}{a^2}+1} \, dx$$

Deje $\frac{x^2}{a^2} = t$

$$F(a,b) = \frac{a^b}{2|a|} \,\int^{\infty}_0 \frac{t^{\frac{b-1}{2}}}{t+1} \, dt = \frac{a^b \, \pi }{2|a| \sin\left( \pi \frac{b+1}{2}\right)}$$

donde he utilizado la función beta .

$$F(a,b)=\frac{a^b \, \pi }{2|a| \sin\left( \pi \frac{b+1}{2}\right)}$$

Diferenciar wrt a $b$

$$\frac{\partial F(a,b)}{\partial b} = \frac{a^b \, \pi \, \ln|a| }{2|a| \sin\left( \pi \frac{b+1}{2}\right)} - \frac{a^b \, \pi^2 }{4|a| } \cot^2 \left(\pi \frac{b+1}{2}\right)$$

$$\frac{\partial F(a,0)}{\partial b}= \int^{\infty}_0 \frac{\ln(x)}{x^2+a^2}\, \,dx=\frac{ \, \pi \, \ln|a| }{2|a|} $$

En particular

$$\frac{\partial F(1,0)}{\partial b}= \int^{\infty}_0 \frac{\ln(x)}{x^2+1}\, \,dx=0 $$