¿Es todo operador irreducible unitario equivalente a un operador de banda?

Question

Este número continúa esta pregunta .

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita y $B(H)$ el álgebra de operadores acotados.

Definición : Dejemos que $(e_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ sea una base ortonormal.
$T \in B(H)$ es anillado si $\exists r \in \mathbb{N}$ tal que $ (Te_{n}, e_{m})\ne 0 \Rightarrow \vert n-m \vert \leq r$ .

Definición : Un operador $A \in B(H)$ es irreducible ( Halmos 1968 ) si su conmutador $\{ A\}'$ no contiene proyecciones que no sean $0$ y $I$ (es decir, $A \ne A_{1} \oplus A_{2}$ , o de forma equivalente, $\{A,A^{*}\}''=B(H)$ ).

¿Es todo operador irreducible unitario equivalente a un operador de banda?

Nota: : A anillado es una generalización gruesa de un operador diagonal.
También es una suma finita de un producto finito de operadores de desplazamiento de peso.

Answer 1

Poniendo en común las respuestas de N. Ozawa ici y C. Eckhardt ici podemos responder "no" :

En efecto, si un operador es unitario equivalente a un operador de banda, genera una $C^{*}$ -y existe un operador irreducible que genera una $C^{*}$ -Álgebra.

Conclusión, existe un operador irreducible que no es unitario equivalente a un operador de banda.