En este momento no puedo pensar en una buena referencia para lo que quieres (y me considero bastante bien informado en la literatura asuntos como este), así que lo que yo sugiero es algo que he hecho muchas veces a lo largo de los años, cuando yo estaba en una situación similar. Anota todas las aplicaciones que usted puede pensar en un bloc de notas. Luego de mirar a través de todos los libros en su biblioteca para obtener más ejemplos e ideas. Mira cálculo de textos, cálculo avanzado de textos, análisis real de los textos, la parte superior de física a nivel de los textos, nivel superior en ingeniería de textos --- cualquier cosa que usted piensa que tiene una probabilidad de contener algo útil. (La física y la ingeniería de textos a menudo contienen niza ejemplos del mundo real se pueden utilizar.) Asegúrese de revisar los ejercicios, porque a veces esto es donde vas a ver algo que no sabes acerca de. Repita el proceso en su biblioteca de la universidad. Usted puede necesitar para hacer dos o tres viajes allí, a menos que usted puede ahorrar varias horas una de la tarde y tener la paciencia para hacerlo.
Una vez que haya comenzado una lista, mantenga todas sus notas en una carpeta separada. Esto es importante porque con el tiempo se tropiezan a otras aplicaciones, por lo que cuando esto sucede, todo lo que tienes que hacer es apuntar hacia abajo (o imprimirlo si es algo que usted ve en línea, como en las matemáticas stackexchange que tiene "el poder de la serie" como una etiqueta) y deslizamiento de la hoja en su carpeta para poder serie de cosas.
Todo esto puede parecer como un montón de trabajo sólo para la alimentación de las aplicaciones de las series, pero los beneficios pueden ir más allá de este. Hacer lo mismo para cualquiera de los uno o dos docenas de otros temas en los que te gustaría tener ejemplos de. He hecho muchas de estas carpetas cuando yo estaba enseñando en las décadas de 1980 y 1990, y a menudo me encontré (por accidente) muy interesante, cosas nuevas para agregar a las carpetas existentes, cuando inicialmente estaba "investigando" un nuevo tema. En el 2000 me comenzó a publicar algunos de estos para que utilice otras personas (en su mayoría en el sci.matemáticas, seguido por el de Matemáticas grupo del Foro de AP-cálculo). Por ejemplo, aquí está una lista de algunas cosas relacionadas a racionalizar el denominador que he publicado en 12 de junio de 2001. Sin embargo, no creo que la he publicado una lista para la alimentación de la serie, aunque un (probable tedioso) buscar a través de mis publicaciones a través de los años debería traer un montón de aplicaciones.
Aunque mi punto principal aquí era explicar una útil a largo plazo de la estrategia didáctica, voy a enumerar algunas de las aplicaciones (y complementario de los temas) se me ocurre de mano o de encontrar en algunos de mis viejos pruebas que se me ocurre para tener acceso a donde estoy.
Usted puede utilizar series geométricas expansiones (junto con diversas manipulaciones algebraicas) para obtener la potencia de la serie de expansiones y los intervalos de convergencia de muchas ratoinal funciones, tales como $\frac{2x}{4+x}$ (lo que equivale $\frac{1}{2}x$ veces $\frac{1}{1-r},$ donde $r = -\frac{x}{4})$ $\frac{5x^3}{4 - x^3}$ (lo que equivale $\frac{5}{4}x^3$ veces $\frac{1}{1-r},$ donde $r = \frac{1}{4}x^{3}).$
El poder de la serie de expansiones a veces puede ser usada fácilmente para evaluar los límites que son de difícil acceso por otros métodos (de L'Hospital, etc.), y he visto muchos ejemplos de estos en matemáticas stackexchange. Un ejemplo de una antigua prueba de la mía es la siguiente:
Evalúe los siguientes límites por el método de series de Taylor:
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \, \left[ \frac{1 - \cos\left(\pi x^2\right)}{x^{2}\sin\left(ex^{2}\right)} \right] $$
A los estudiantes se les dijo a memorizar las expansiones de algunas funciones básicas, que incluyen las necesarias arriba, de modo que una solución no requiere más trabajo que
$$\frac{1 \; - \; \left[1 - \frac{1}{2}\left(\pi x^{2}\right)^{2} + \cdots \right]}{x^{2} \cdot \left[\left(ex^{2}\right) - \cdots \right]} \;\;\; = \;\;\; \frac{\frac{1}{2}{\pi}^{2}x^4 + \cdots}{ex^4 - \cdots} \;\;\; \rightarrow \;\;\; \frac{{\pi}^{2}}{2e} $$
El poder de la serie de expansiones se puede utilizar para aproximar los valores de las integrales definidas, y un ejemplo común es el error integral (integrando es $e^{-x^2})$ debido a que esto conduce a una corriente alterna de la serie (incluso cuando $x$ es negativo), por lo que el error puede ser fácilmente estimado. A veces me he preguntado a una pregunta como esta integral se puede evaluar con la mano, de modo que puedan comprobar su trabajo, tales como el siguiente problema también de un viejo de la prueba. [A encontrar las 5 de la orden de polinomio de Taylor, los estudiantes sólo necesitan para sustituir a $u = -2x^2$ en la expansión de $e^u$ y luego se multiplica término-a-término por $x.$ Nota también de que este problema es, además, la intención de llevar a casa la distinción entre una estimación de un error y el error en sí mismo. Al menos un problema casi idéntico a esto habría sido trabajado previamente en clase, y al menos dos o tres le han dado para hacer la tarea antes de la prueba.]
(a) Escriba las 5 de la orden de polinomio de Taylor acerca de la $x=0$ para la función de $f(x) = xe^{-2x^{2}}.$
(b) Utilice su respuesta en (a) aproximar el valor de $\; \int_{0}^{0.5} f(x) \, dx.$
(c) el Uso de la alternancia de la serie de pruebas para obtener un límite superior en el error en la aproximación realizada en (b).
(d) Hallar el valor exacto de esta integral definida (deje $u = -2x^{2})$, y utilizar este valor exacto para encontrar el error exacto de la aproximación se encuentra en (b). Usted debe encontrar que el error exacto es $\leq$ su cota superior para el error (su respuesta a (c)).
Aquí es un divertido aparente paradoja de que uno de mis "problemas suplementarios" las asignaciones de la tarea:
El uso de series geométricas ideas, es fácil ver que $\frac{x}{1-x} = x + x^2 + x^3 + \cdots$ $\frac{x}{x-1} = \frac{1}{1 - x^{-1}} = 1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots.$ por lo tanto, $\frac{x}{1-x} + \frac{x}{x-1} = \cdots + x^{-2} + x^{-1} + 1 + x + x^2 + \cdots = \sum_{n = -\infty}^{\infty}x^{n}.$ sin Embargo, en la secundaria álgebra llegamos $\frac{x}{1-x} + \frac{x}{x-1} =0.$ Explicar esta aparente paradoja por hallar el intervalo de convergencia de cada una de las series que se agrega.
Aquí hay 4 más de esos deberes complementarios de problemas":
1(a) Encontrar una forma cerrada de expresión para $\sum_{n=1}^{\infty}e^{nx}$ y darle el intervalo de convergencia.
1(b) Encontrar el valor de $x$ tal que $\sum_{n=1}^{\infty}e^{nx} = 42.$
1(c) Encontrar el valor de $x$ tal que $\sum_{n=1}^{\infty}e^{nx} = e.$
1(d) ¿Cuál es el rango de la función $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}e^{nx}?$
$\;$
2(a) Expresar $(1-x)^{-1}$ en la forma $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}.$ Para el cual los valores de $x$ es esta serie válido?
2(b) Evaluar $\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left[\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}\right]\,dx$ para la serie que se encuentra en (a) mediante la integración término a término. Su respuesta debe ser un número de serie infinita de tener un directo bastante patrón.
2(c) Evaluar $\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{1-x}\right)dx$ en forma exacta. Nota: Si has hecho (b) y (c) correctamente, usted debería ser capaz de expresar $\ln 2$ como la suma de una serie infinita de tener un patrón simple. (Un ejemplo en donde la $\ln 2$ es expresado como la suma de una serie infinita de tener una no tan simple es el patrón de la expansión decimal de $\ln {2}.)$
$\;$
3(a) Epress $(1+x^{2})^{-1}$ en la forma $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}.$ Para el cual los valores de $x$ es esta serie válido?
3(b) Evaluar $\int_{0}^{1}\left[\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}\right]\,dx$ para la serie que se encuentra en (a) mediante la integración término a término. Su respuesta debe ser un número de serie infinita de tener un directo bastante patrón.
3(c) Evaluar $\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{1+x^{2}}\right)dx$ en forma exacta. La antiderivada de el integrando implicará el arco tangente de la función y el número de evaluaciones de involucrar a los valores de la arcotangente que usted debe saber. Nota: Si has hecho (b) y (c) correctamente, usted debería ser capaz de expresar $\pi$ como la suma de una serie infinita de tener un patrón simple. (Un ejemplo en donde la $\pi$ es expresado como la suma de una serie infinita de tener una no tan simple es el patrón de la expansión decimal de $\pi .)$
$\;$
4(a) Expresar $(1-x)^{-1}$ en la forma $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}.$ Para el cual los valores de $x$ es esta serie válido?
4(b) Evaluar $\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}\right)$ para la serie que se encuentra en (a) mediante la diferenciación término a término.
4(c) Evaluar $\frac{d}{dx}(1-x)^{-1}$ en forma cerrada usando el atajo de la diferenciación de las reglas.
4(d) Mediante la evaluación de su respuesta a (b) y (c) por $x=\frac{1}{2},$ encontrar el valor de $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{2^n}.$
4(e) restando plazo por plazo $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}$ (cuyo valor debe saber) de $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{2^n},$ encontrar una expresión exacta para el valor de $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{2^n}.$
4(f) Encontrar una forma cerrada valor de $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{an+b}{2^n}$ en términos de las constantes de la $a$ $b.$
