La gente suele decir que la Borsuk–Ulam teorema implica que no siempre existen dos antipodal puntos de $x$ $y$ en el ecuador, tales temperatura en estos dos puntos es la misma, es decir, $T(x) = T(y)$ donde $T$ es el campo de temperatura en el ecuador. Esto, por supuesto (de manera implícita) se supone que $T$ es continua.
Asumiendo $T$ a ser continua, es probablemente una buena aproximación de la realidad. Si uno iba a medir simultáneamente la temperatura en una lo suficientemente densa como conjunto de puntos en el ecuador, se obtendría una función discreta que es "casi continuo" en el sentido de que la diferencia de $T(x_i) - T(x_{i-1})$ de la temperatura de dos puntos consecutivos es muy pequeña.
Esto me puso a pensar que lo que si tenemos una función de $f$ a 1-dimensiones de la esfera $S$ (el ecuador), de tal manera que es "casi continua" a escala de la $\varepsilon$, es decir, el conjunto de puntos de discontinuidad $D \subset S$ satisfacer $$ \left| \lim_{x\a y^+} f(x) - \lim_{x \a y^-}f(x) \right| < \varepsilon \quad \forall y \D\,. $$ Ahora somos la garantía de encontrar antipodal puntos de $x,y \in S$ tal que $|f(x)-f(y)| < \xi(\varepsilon)$ para algunos la función $\xi$ tendiendo a $0$$\varepsilon \to 0$? O algo similar? Lo que si ampliamos nuestra clase de "casi continua de funciones", por ejemplo, podríamos buscar en las funciones para las que $$ \left|\limsup_{x \a y} f(x) - \liminf_{x \a y} f(y) \right| < \varepsilon \quad \forall y \D\,. $$ ¿Y si nos vamos a las dimensiones superiores?
En otras palabras, si sólo suponemos "casi la continuidad" (en algún sentido) de la temperatura de campo, no existen aún dos antipodal puntos en el ecuador, con prácticamente la misma temperatura?
Mi idea sería la de acercarse a la "casi continuo" con la función de una función continua. Si $f$ es casi continua hasta la escala de $\varepsilon$, encontramos una función continua $g$ satisfactorio $$ \sup_{x \in S} |f(x)-g(x)| < \varepsilon\,. $$ A continuación, para $g$ aplicar la Borsuk–Ulam teorema para obtener antipodal puntos de $z_1, z_2$ s.t. $g(z_1) = g(z_2)$. Ahora \begin{align} |f(z_1) - f(z_2)| &\leq |f(z_1) - g(z_1)| + |g(z_1) - g(z_2)| + |g(z_2) - f(z_2)| \\ & \leq 2 \varepsilon\,, \end{align} y hemos terminado. Pero no estoy seguro de cómo, en general, esta aproximación puede ser aplicado, especialmente si tratamos de aflojar nuestra noción de "casi la continuidad".
