¿Por qué no puedo equiparar las componentes temporales de los puntos del espaciotiempo transformados por Lorentz para encontrar la distancia contraída entre ellos?

Question

Defino un marco de referencia $S$ y un marco de referencia $S^\prime$ moviéndose con velocidad $v$ en el positivo $x$ -dirección relativa a $S$ . Hay una vara de medir en reposo en $S$ con extremos izquierdo y derecho $L^\mu$ y $R^\mu$ respectivamente, que pueden representarse como puntos del espaciotiempo:

$L^\mu=(t,0,0,0)$

$R^\mu=(t,1,0,0)$ .

Con $c=1$ la transformación de Lorentz de $S$ a $S^\prime$ en forma de matriz es

$ \Lambda^{\mu^\prime}_{\;\;\mu} = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma v & 0 & 0 \\ -\gamma v & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} . $

Utilizando esta transformación en un punto del espaciotiempo general en $S$ , $x^\mu=(t,x,y,z)$ , produce las relaciones de coordenadas:

$t^\prime=\gamma t -\gamma v x$

$x^\prime=\gamma x -\gamma v t$ .

Utilizando estas relaciones, $L$ y $R$ pueden escribirse como puntos en $S^\prime$ :

$L^{\mu^\prime}=(\gamma t -\gamma v x_L, \gamma x_L -\gamma v t, 0, 0)$

$R^{\mu^\prime}=(\gamma t -\gamma v x_R, \gamma x_R -\gamma v t, 0, 0)$ .

(Creo que mi fallo lógico está aquí) Si nuestro objetivo es medir la distancia del metro con respecto a $S^\prime$ necesitamos encontrar la diferencia en el $x^\prime$ componentes de $L^{\mu^\prime}$ y $R^{\mu^\prime}$ cuando su $t^\prime$ son iguales, por lo que igualamos sus componentes temporales:

$\gamma t -\gamma v x_L = \gamma t -\gamma v x_R$ .

Con $x_L=0$ y $x_R=1$ obtenemos

$0=\gamma v x_R$ ,

que sólo es cierto cuando $v=0$ (que no lo es) o $x_R=0$ (que no lo es).

Mi pregunta es: ¿Cuál es el fallo lógico de equiparar las componentes temporales de los puntos espaciotemporales izquierdo y derecho de la vara de medir para encontrar su $x^\prime$ componentes en un tiempo sincronizado $t^\prime$ para que la longitud contraída de la vara del metro pueda medirse como $\Delta x^\prime=R^{x^\prime}-L^{x^\prime}$ ?

editar: Quiero aclarar por qué Pensé en equiparar sus componentes temporales en primer lugar. Entiendo que la longitud de un objeto en un marco de referencia $F$ es la diferencia de sus coordenadas espaciales cuando se miden en el mismo momento dentro de ese marco de referencia.

Answer 1

Utilizando las transformaciones de Lorentz la posición del extremo izquierdo de la varilla en algún momento $t_L$ en $S^\prime$ es:

$$ (t_L, 0) \rightarrow (\gamma t_L, -\gamma vt_L) \tag{1} $$

Igualmente la posición del extremo derecho de la varilla en algún momento $t_R$ en $S^\prime$ es (tomando la longitud de la varilla como $\ell$ :

$$ (t_R, \ell) \rightarrow \left( \gamma(t_R-v\ell), \gamma(\ell-vt_R) \right) \tag{2} $$

Queremos comparar el $x^\prime$ posición de los extremos en el mismo $t^\prime$ pero esto será en diferentes valores de $t$ es decir $t_L \ne t_R$ . Si exigimos que $t^\prime$ sea el mismo para los extremos izquierdo y derecho entonces obtenemos:

$$ \gamma t_L = \gamma(t_R-v\ell) $$

dándonos:

$$ t_R = t_L + v\ell $$

Ahora tomamos la ecuación para $x^\prime_R$ de la ecuación (2) anterior:

$$ x^\prime_R = \gamma(\ell-vt_R) $$

y sustituirlo por $t_R = t_L + v\ell$ para conseguirlo:

$$\begin{align} x^\prime_R &= \gamma(\ell-v(t_L + v\ell)) \\ &= \gamma\ell(1 - v^2) -\gamma vt_L \\ &= \frac{\ell}{\gamma} + x^\prime_L \end{align}$$

que es el resultado correcto.

Viendo su planteamiento creo que está asumiendo que $t^\prime_L = t^\prime_R$ y $t_L = t_R$ y esto no puede ser correcto porque ambos tiempos no pueden ser iguales en ambos fotogramas.