Demostrar que no existen enteros positivos $a, b$ $n >1$ tal que $a^n – b^n$ divide $a^n + b^n$.

Question

Demostrar que no existen enteros positivos $a$ , $b$ y $n>1$ tal que $a^{n}–b^{n}$ divide $a^{n}+b^{n}$.

Alguien puede proporcionarme una prueba de ello y que me lo explique por favor.

Answer 1

Este es un problema que aparece en este número de el libro de la teoría por Nivens et al (1.2.46, p 19). La siguiente es una solución fácilmente alcanzado.

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Problema: Demostrar que no existen enteros positivos $a,b,n > 1$ tal que $(a^n-b^n)\mid (a^n+b^n).$

Prueba. Podemos probar, primero, en el hecho siguiente: $$\text{Para los enteros $x,y$ tal que $(x,y)=1, (x+y,x-y)=1$ o $2$}.$$ Desde $(x,y)=1$, no es un número entero $s,t$ tal que $sx+ty=1$. Entonces $$(s+t)(x+y)+(s-t)(x-y)=2sx+2ty=2.$$ Por lo tanto, $(x+y,x-y)\leq 2$ (por elemental de la teoría de números hechos relativos a $\mathrm{gcd}$); por lo tanto, nos demostró el hecho de encima.

Ahora, supongamos que existen enteros positivos $a,b$ $n>1$ tal que $(a^n-b^n)\mid (a^n+b^n)$. Tenga en cuenta que podemos suponer $a>b$ sin pérdida de generalidad. Entonces existe un entero positivo $Q$ que satisface $$(a^n+b^n)\mid Q(a^n-b^n).$$ Deje $(a,b)=d$. Luego dividir esta ecuación por $d^n$ para conseguir que $$\left(\left(\frac{a}{d}\right)^n-\left(\frac{b}{d}\right)^n\right) = Q\left(\left(\frac{a}{d}\right)^n+\left(\frac{b}{d}\right)^n\right)$$ y $\left(\left(\frac{a}{d}\right),\left(\frac{b}{d}\right)\right)=1$. Por lo tanto, podemos asumir que existen enteros positivos $a,b$ que son relativamente primos con $a>b$ $n>1$ tal que $(a^n-b^n)\mid (a^n+b^n)$. Ahora, $(a,b)=1$ implica que el $(a^n,b^n)=1$, por lo que tenemos que $$a^n-b^n = (a^n-b^n,^n+b^n)=1\;\text{o}\;2,$$ donde la primera igualdad es por $(a^n-b^n)\mid (a^n+b^n)$, y la segunda igualdad es por el hecho de que nos demostró por primera vez.

Pero $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+\cdot+b^{n-1})$ y es trivial que $a\neq b$ hacer $(a^n-b^n)\mid (a^n+b^n)$ sentido. Por eso, $a>b\geq 1$. Por lo tanto, $(a-b)\geq 1$$a^{n-1}+\cdots+b^{n-1}\geq 2+1=3$, ya que el $n > 1$. Entonces tenemos que $$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+\cdots+b^{n-1}\geq 3,$$ una contradicción, porque no puede ser $1$ o $2$. Por lo tanto, no hay números enteros positivos $a,b,n>1$ tal que $(a^n-b^n)\mid (a^n+b^n)$. $\Box$