Prueba de la incompatibilidad de los axiomas de determinación y elección

Question

Estoy repasando unos apuntes sobre el axioma de determinación, y he tenido algunos problemas con la prueba de la incompatibilidad del axioma de determinación con el axioma de elección. En concreto, el teorema tiene la siguiente forma,

Supongamos que $\omega^\omega$ puede estar bien ordenada. Hay un conjunto $A\subseteq\omega^\omega$ que no está determinada.

La prueba en las notas es un poco confusa, y no puedo seguirla del todo, aunque entiendo la idea básica de que usamos un argumento diagonal definiendo recursivamente un conjunto para el que no puede haber estrategia ganadora. ¿Podría alguien publicar una demostración o indicarme dónde encontrarla?

Gracias de antemano. Ben.

Answer 1

Si está familiarizado con la prueba de Bernstein de un conjunto sin la propiedad de conjunto perfecto, entonces el principio es esencialmente el mismo.

Primero demostramos que sólo hay un número continuo de estrategias. Esto es simplemente porque una estrategia es esencialmente una función de un árbol contable a $\omega^\omega$ .

A continuación enumeramos estas estrategias y, por inducción, nos aseguramos de que todas las estrategias fallan. En el $\alpha$ paso elegimos una secuencia que garantice que ni el jugador puede ganar con su $\alpha$ -enésima estrategia.

El resultado es, por tanto, un juego que no se puede ganar.

Answer 2

No sé qué apuntes estás usando, pero una buena fuente complementaria, que casualmente incluye una demostración de este teorema, es estos apuntes de un curso de la Escuela de Verano de Lógica de la UCLA que hablaba de Determinación y Teoría de Conjuntos.