Campo de números algebraicos sobre Q con p-ádico valor

Question

Definir $\overline{\mathbb{Q}} \subset \mathbb{C}$ a ser el subconjunto que consta de todos los números complejos que son algebraicos sobre $\mathbb{Q}$. Sabemos que $\overline{\mathbb{Q}}$ es una contables de campo y que es algebraicamente cerrado.

1. Mostrar que existe una secuencia finita de extensiones $E_{0}=Q \subset E_{1} \subset \ldots \subset E_{n} \subset \ldots \overline{\mathbb{Q}}$, es decir, cada una de las $E_{i}/E_{i-1}$ es finita exntesion y $\overline{\mathbb{Q}} = \cup_{n} E_{n}$.
2. (El uso de los anteriores) muestran que para cualquier prime $p$, $p$- ádico valor absoluto se extiende a un valor absoluto en $\overline{\mathbb{Q}}$.

Así que, he demostrado 1 (sólo definen $E_{i} = \mathbb{Q} (a_{1}, a_{2},\ldots, a_{i}$ donde $\overline{\mathbb{Q}} = \left\{a_{1}, a_{2},\ldots\right\}$ ), pero no sé cómo formalizar $2$. Por supuesto, con el hecho de que cada nonarchimedean valor absoluto en un campo, se extiende en al menos uno para cada extensión finita, podemos obtener una extensión de la p-ádico de valoración en cada una de las $E_{n}$, pero no veo cómo end $2$. Tal vez, una continuidad en el argumento?

Gracias.

Answer 1

Como usted dice, se obtiene una extensión de la $p$-ádico de valoración para cada una de las $E_n$, y cada elemento de Q-bar se encuentra en $E_n$ algunos $n$, por lo que se han ampliado las $p$-ádico de valoración para Q-bar, ¿no?

Answer 2

Tenga en cuenta que la extensión de la $p$-ádico de valoración a $E_n$ no suele ser única; las posibles extensiones están en bijection con el número de números primos en el anillo de enteros de $E_n$ situada en el primer $p$.

Así, para cada $n$ hay una (no vacío!) conjunto finito $S_n$ de las extensiones de la $p$-ádico de valoración a $E_n$. La restricción de una extensión de $E_{n+1}$ $E_n$da un mapa de $S_{n+1} \to S_n$. Así que usted tiene un proyectiva secuencia finita de conjuntos $$ \cdots \to S_{n+1} \to S_n \to \cdots \to S_1 \to S_0$$ y usted está tratando de elegir un elemento de cada uno en un compatibles con la moda, es decir, usted está tratando de elegir un elemento en la proyectiva límite. Esto será posible si (y sólo si!!!) el proyectiva límite no está vacía.

Agregado: Como Gerry señala en el (los comentarios a) su respuesta, estos mapas son surjective, y así uno puede simplemente sucesivamente elegir un elemento de cada una de las $S_n$ que se asigna a la elección anterior en $S_{n-1}$; esto le da a la deseada extensino.

Antes discusión innecesaria:

Hecho General: el proyectiva límite de un proyectiva de la secuencia de la no-vacío finito de conjuntos de siempre es no vacío.

Prueba: es Un caso especial de una más general hecho sobre proyectiva límites llama la Mittag--Leffler de la propiedad, lo que es muy fácil de probar directamente (aunque no completamente trivial si nunca has pensado acerca de este tipo de cosas antes).

Agregado: Cuando los mapas $S_{n+1} \to S_n$ son surjective (en nuestro contexto), esto realmente es trivial; como ya se señaló anteriormente, en este caso especial, sólo tienes que elegir un punto en cada una de las $S_{n+1}$ la asignación a la elección anterior en $S_n$!