Origen del problema: ¿existe k,n>2, tal que $\sum_{j=1}^k j^n = (k+1)^n $?

Question

En mi otra pregunta hace dos días me pide la confirmación, si uno de los pasos de un intento de ese problema

¿existe $k,n>2$ , de tal manera que $\sum_{j=1}^k j^n = (k+1)^n $ ?

estaba justificado. Me había tocado el violín con ese problema hace algunos años (2006/2007) y atribuyó este problema a Paul Erdős desde - creo que es porque de manera informal, el comentario de algunos discutant quien me tomó como autoridad (así que me perdí el punto de que la pista esta en una fuente en que momento de la exploración...).

Después de algunas búsquedas en mi propio texto-fuentes y ahora googlear para fuentes en línea no me parece que cualquier sugerencia útil para la autoría de este problema.

Podría alguien la amabilidad de proporcionar una referencia o una sugerencia para que el problema de contexto y de su autor?

Answer 1

Hombre, los Problemas sin resolver En la Teoría de números, 3ª edición, Problema D7: la Suma de las sucesivas potencias de una potencia. "Rufus Bowen conjeturó que la ecuación $$1^n+2^n+\cdots+m^n=(m+1)^n$$ has no nontrivial solutions...." Guy gives a lot more info on what's known about the question, but doesn't give a reference for Bowen. The earliest reference he gives with the equation in the title is L Moser, On the diophantine equation $1^n+2^n+\cdots+(m-1)^n=m^n$, Scripta Matemáticas 19 (1953) 84-88, MR 14, 950. La única edad de referencia que da, P Erdős, Avanzada problema 4347, Amer Matemáticas Mensual 56 (1949) 343. Yo no he visto en ninguno de los dos.