Teorema : Todo conjunto abierto no vacío S en $\mathbb{R^1}$ es la unión de una colección contable de intervalos componentes disjuntos de S.
Creo que es bastante fácil demostrar que los intervalos componentes son disjuntos, pero no estoy seguro de cómo hacerlo para la unión contable.
Cada colección de intervalos abiertos no vacíos y emparejados de $\Bbb R$ es contable. Si $\mathscr{I}$ es una familia de intervalos, cada $I\in\mathscr{I}$ contiene algún número racional $r(I)$ . Si $I,J\in\mathscr{I}$ y $I\ne J$ entonces $I\cap J=\varnothing$ Así que $r(I)\ne r(J)$ . Así, el mapa $r:\mathscr{I}\to\Bbb Q:I\mapsto r(I)$ es inyectiva, y se deduce que $|\mathscr{I}|\le|\Bbb Q|=\omega$ es decir, que $\mathscr{I}$ es contable. Esta es la parte más fácil del teorema.
Para terminar de demostrar el teorema hay que demostrar que todo abierto $S\subseteq\Bbb R$ es una unión de intervalos abiertos no vacíos disjuntos por pares. La forma más sencilla de hacerlo es definir una relación de equivalencia $\sim$ en $S$ del siguiente modo: si $x,y\in S$ entonces $x\sim y$ si $x\le y$ y $[x,y]\subseteq S$ o $y\le x$ y $[y,x]\subseteq S$ . En otras palabras, $x\sim y$ si todo el intervalo cerrado entre $x$ y $y$ se encuentra en $S$ . Para terminar la prueba debes hacer dos cosas:
Te dejaré intentarlo; si te atascas, puedo añadir algo a la respuesta.
Sea $\Omega \subset \mathbb{R}$ sea un conjunto abierto no vacío. Para todo $q \in \mathbb{Q}$ definir $r(q)= \sup\{ r \geq 0 | B(q,r) \subset \Omega \}$ (así $r(q)=0$ si $q \notin \Omega$ ). Se puede demostrar que $\Omega = \bigcup\limits_{q \in \mathbb{Q}} B(q,r(q))$ .
A continuación, puede identificar subcubiertas en cada uno de los componentes de $\Omega$ .
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