Extensión infinita en la teoría de Galois

Question

Tengo esta pregunta mientras estudio la correspondencia de Galois.

Sea $K/F$ sea una extensión infinita y $G = \mathrm{Aut}(K/F)$ . Sea $H$ sea un subgrupo de $G$ con índice finito y $K^H$ sea el campo fijo de $H$ . ¿Es cierto que $[K^H:F]= (G:H)$ ?

Para la extensión finita, he verificado lo siguiente es cierto. ¿Es cierto también en el caso infinito?

Gracias

Answer 1

El comentario de KCd responde a la pregunta, pero seamos un poco más explícitos. Veamos $F = \mathbb{Q}(x_1, x_2, ...)$ y que $K = \mathbb{Q}(\sqrt{x_1}, \sqrt{x_2}, ...)$ . El grupo de Galois $G = \text{Aut}(K/F)$ es $\prod_{n=1}^{\infty} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ con la topología del producto. El subgrupo $\bigoplus_{n=1}^{\infty} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ es contable, por lo que es un subgrupo propio de $G$ . Condicionado al axioma de elección (pero en realidad aquí sólo necesitamos el lema del ultrafiltro) este subgrupo está contenido en un subgrupo maximal $H$ . El cociente $G/H$ es un grupo simple en el que cada elemento tiene orden $2$ por lo que debe ser $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ .

Así que $H$ tiene índice $2$ . Pero como contiene los generadores topológicos de $G$ concluimos que $K^H = F$ .