Srednicki QFT Capítulo 29: Diagramas de Feynman para calcular la acción efectiva

Question

Estoy intentando abrirme camino Srednicki Capítulo 29 sobre la aproximación de Wilson a la renormalización. Sin embargo, no estoy seguro de por qué los diagramas de Feynman que Srednicki considera y calcula en este capítulo son los correctos.

En este capítulo, consideramos un $\phi^4$ teoría en el espacio euclidiano con integral de trayectoria $$Z(J) = \int D\phi \ e^{-S_{E} + \int J \phi} \tag{29.4}$$ donde la acción euclidiana $$S_E = \int d^4x \left( \frac{1}{2}Z_{\phi} \partial_{\mu} \phi \partial_{\mu}\phi + \frac{1}{2}Z_{m} m_{ph}\phi^2 + \frac{1}{4!}Z_{\lambda}\lambda_{ph}\phi^4\right).\tag{29.5}$$

Por lo que entiendo, entonces imponemos algún corte de impulso $\Lambda$ y dividir el campo $$\phi (x) = \varphi (x) + \chi (x) ,$$ donde $\varphi (x)$ sólo tiene soporte en el espacio de momentos para $|k| < \Lambda$ mientras que $\chi$ sólo admite $|k| > \Lambda$ . Esto debería dividir $$D \phi = D\varphi D\chi,$$ y la acción se convierte en

$$ S_E = \int d^4x \left( \frac{1}{2}Z_{\phi} \partial_{\mu} \varphi \partial_{\mu}\varphi + \frac{1}{2}Z_{m} m_{ph}\varphi^2 + \frac{1}{4!}Z_{\lambda}\lambda_{ph}\varphi^4\right) + \int d^4x \left( \frac{1}{2}Z_{\phi} \partial_{\mu} \chi \partial_{\mu}\chi + \frac{1}{2}Z_{m} m_{ph}\chi^2 + \frac{1}{4!}Z_{\lambda}\lambda_{ph} \left( \chi^4 + 4 \chi^3 \varphi + 6 \chi^2 \varphi^2 + 4 \chi \varphi^3 \right) \right). $$

Ahora queremos integrar los modos de alto momento para obtener una acción efectiva

$$ Z(J) = \int D\varphi e^{-S_{eff}(\varphi) + \int J \varphi}, \tag{29.9} $$

donde

$$ S_{eff}(\varphi) = - \log \left( \int D\chi e^{-S_E(\varphi , \chi)} \right).\tag{29.10}$$

Srednicki dice entonces que para calcular los parámetros multiplicando los operadores que aparecen en el lagrangiano efectivo

$$ L_{eff}(\varphi) = \frac{1}{2}Z(\Lambda) \partial_{\mu} \varphi \partial_{\mu}\varphi + \frac{1}{2} m(\Lambda)^2 \varphi^2 + \frac{1}{4!}\lambda (\Lambda)\varphi^4 + \sum_{d \geq 6} \sum_{i} c_{d,i}(\Lambda) \mathcal{O}_{d,i}\tag{29.11}$$

tenemos que sumar los diagramas 1PI con el número correcto de externos $\varphi$ líneas e internas $\chi$ propagadores.

Ahora bien, lo que no entiendo es por qué sólo hay que sumar sobre los diagramas 1PI. En mi opinión, la fórmula de la acción efectiva sugeriría que deberíamos sumar todos los diagramas conectados* con sólo los internos $\chi$ propagadores y no sólo los diagramas 1PI. Así, por ejemplo, para calcular el coeficiente de $\varphi^6$ ¿por qué no considero un diagrama que une dos vértices con 3 externos $\varphi$ líneas con una sola $\chi$ línea?

Answer 1

La razón es el teorema del clúster enlazado. Afirma que dada una acción $S(\chi)$ entonces los diagramas de Feynman generados por

$Z = \int \mathcal{D}[\chi] e^{iS(\chi)}$

a veces están desconectados, por ejemplo, se puede obtener al evaluar un orden en la expansión de la serie perturbativa no sólo un único diagrama de Feynman que está conectado, se pueden obtener múltiples diagramas que son independientes entre sí. Sea $W$ es la función generadora de los diagramas de Feynman que son todos conexos. Entonces, el teorema del cluster enlazado establece que

$W = \log Z$ .

Porque en el cálculo de la acción efectiva tendrás exactamente ese logaritmo, sólo tienes que sumar todos los diagramas conectados y por tanto puedes ignorar los desconectados. Los diagramas de Feynman reducibles se convierten en irreducibles.

Además, si $Z[J]$ depende del campo fuente $J$ de la que se pueden derivar todo tipo de funciones de correlación tomando derivadas, entonces se puede demostrar que tomando $J$ -derivados del funcional $W[J]$ obtendrás todos los cumulantes posibles. La desviación típica

$\sigma_{XY} = <0|T(XY)|0> - <0|X|0><0|Y|0>$

para dos observables $X,Y$ y operador de ordenación temporal $T$ es una forma simple de cumulante, porque mide una nueva información estadística, las desviaciones e ignora las contribuciones de las medias simples $<0|X|0>$ restándolas.

Answer 2

No tengo el libro delante, pero creo que no hay que tomarse demasiado al pie de la letra esta explicación de la RG de Wilson. Si insistes en una identidad exacta $$ Z[J]=\int D\phi\ e^{-S_E+J\phi}=\int D\varphi\ e^{-S_{eff}(\varphi)+J\varphi} $$ entonces, en principio, la acción efectiva no vendrá dada por un local lagrangiano efectivo. Es decir, los términos del operador superior no serán como $$ \int dx \ \varphi(x)^n $$ sino más bien $$ \int\cdots\int dx_1\cdots dx_n\ K(x_1,\ldots,x_n)\varphi(x_1)\cdots\varphi(x_n) $$ para algunos núcleos no locales $K$ que están formados por los diagramas conexos con $\chi$ propagadores. Se podría escribir una aproximación local que equivale a sustituir la última cantidad por, digamos $$ \int\cdots\int dx_1\cdots dx_n\ K(x_1,\ldots,x_n)\varphi(x_1)^n $$ por lo que la contribución de los diagramas implica los acoplamientos efectivos $$ \int\cdots\int dx_2\cdots dx_n\ K(x_1,\ldots,x_n) $$ $$ =\int\cdots\int dx_2\cdots dx_n\ K(0,x_2,\ldots,x_n) $$ por invariancia de traslación. Si ahora escribimos esto en el espacio de momento vemos que el $\chi$ gráficos conectados se evalúan en momento externo cero . Si la gráfica no es 1PI, hay un puente o línea interna separadora que debería tener momento cero fluyendo a través de ella. Pero esta a $\chi$ y por construcción desaparece para los momentos $<\Lambda$ y en particular cero. En conclusión, en principio habría que incluir todos los grafos conexos, pero los únicos supervivientes de la evaluación del momento cero son los 1PI.

Editar según dudas de AFT: Un excelente relato del uso de la operación de espacio de posición de puntos móviles $x_1,\ldots,x_n$ a todos sentados a decir $x_1$ para hacer la renormalización, está en la Sección II.2 del libro "De la renormalización perturbativa a la constructiva" por Vincent Rivasseau. Para los más matemáticos, véase también el reciente artículo de Martin Hairer "La opinión de un analista sobre el teorema BPHZ" .

Answer 3

Srednicki es no lo que implica que el Acción eficaz wilsoniana es el 1PI acción eficaz si eso es lo que pregunta el OP. Véase también este Correo de Phys.SE.

Más bien, Srednicki se limita a señalar que la función de partición (29.9) para la acción wilsoniana efectiva (como cualquier función de partición) puede analizarse más convenientemente mediante la transformación de Legendre a diagramas 1PI.