Muestra tres formas en que$f(z)=\frac{\overline{z}}{z-1}$ no es analítico

Question

Necesito mostrar la función compleja $$f(z)=\frac{\overline{z}}{z-1}$$ no es analítica en tres maneras; en uso de las ecuaciones de Cauchy, geométricamente, y por la integración sobre la circunferencia de radio 2.

He utilizado las ecuaciones de Cauchy uso de $u(x,y)=\frac{x^2-x-y^2}{(x-1)^2+y}$$v(x,y)=\frac{y-2xy}{(x-1)^2+y}$.Los cálculos se complican, pero me las arreglé para mostrar que no eran iguales.

Para la segunda parte, he elegido las líneas de $x=1$$y=1$, que se asignan a ellos, y mostraron que las laderas de sus tangentes en sus puntos de intersección que no se encuentran en un ángulo recto. Creo que esto responde a la pregunta.

Mi mayor pregunta se encuentra en la integral. Yo lo hice, pero tiene 0. Aquí es lo que yo hice: Queremos $$\oint_C \frac{\overline{z}}{z-1}$$, where $C$ is given by $|z|=2$. I chose to parameterize $z$, giving $z=2e^{}$ for $0\leq t\leq2\pi$. This gives $\overline{z}=2e^{-}$ and $dz=2ie^{es}dt$, and so I integrated the following: $$\int_0^{2\pi} \frac{2e^{-it}}{2e^{it}-1}2ie^{it}dt.$$ Unfortunately, upon integration, I got that the integral is equal to $0$. I didn't expect this, as the integral should vanish if it is analytic, but it clearly is not at $z=1$. ¿Me equivoco?

Gracias!

Answer 1

No creo que se cometió un error en absoluto; de hecho, lo que se encuentra en línea con lo que usted debe esperar.

Cuando se le preguntó a mostrar que $f(z)$ no es analítica, que significan distinto a $z = 1$, donde claramente no es analítica, ya que su poste. Sin embargo, si se tratara de analítica diferente a $z = 1$, que sería capaz de utilizar el teorema de los residuos (ya que no hay un polo en el interior del círculo) a la conclusión de que $$ \int_\Gamma f(z)dz = 2\pi i Res_{z=1}f(z) = 2\pi i $$ Sin embargo, se encontró que la integral fue de cero. Así que la función no es analítica (lejos de la pole).

Answer 2

Con respecto a la dificultad del enfoque de la ecuación de Cauchy-Riemann: si$f(z)$ fuera analítico en cualquier lugar, excepto en el punto$z=1$, entonces$(z-1)f(z)$ también sería analítico. Pero$(z-1)f(z)=\bar{z}$ no es analítico en ninguna parte, ya que$\frac{\partial{\bar{z}}}{\partial{x}}+i\frac{\partial{\bar{z}}}{\partial{y}}=1+i(-i)=2\neq 0$.

En general, si$f(z)=\bar{z}g(z)$, donde$g(z)\neq 0$ es analítico, entonces$\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=\bar{z}\frac{\partial{g}}{\partial{x}}+g(z)$ y$\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=\bar{z}\frac{\partial{g}}{\partial{y}}-ig(z)$. Resulta que, $\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+i\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=\bar{z}\left (\frac{\partial{g}}{\partial{x}}+i\frac{\partial{g}}{\partial{y}}\right )+2g(z)=2g(z)\neq 0$. Por lo tanto, la ecuación de Cauchy-Riemann no está satisfecha y la función no es analítica en ninguna parte del plano complejo.