¿Dónde Chern clases en vivo? $c_1(L)\in \textrm{?}$

Question

Si $X$ es un complejo colector, se puede definir la primera clase de Chern de $L\in \textrm{Pic}\,X$ a ser su imagen en $H^2(X,\textbf Z)$, mediante el uso de la exponencial de la secuencia. Así que uno puede escribir algo como $c_1(L)\in H^2(X,\textbf Z)$.

Pero si $X$ es un esquema (decir finitos tipo) a través de cualquier campo, entonces vi a una definición de la primera clase de Chern $c_1(L)$ sólo a través de su acción sobre el Chow grupo de $X$, es decir, en ciclos que funciona de la siguiente manera: para un $k$-dimensiones subvariedad $V\subset X$ uno define

\begin{equation} c_1(L)\cap [V]=[C], \end{equation}

donde $L|_V\cong\mathscr O_V(C)$, e $[C]\in A_{k-1}X$ denota el divisor de Weil asociados para el divisor de Cartier $C\in\textrm{Div}\,V$ (el segundo se define lineales de equivalencia). Así que, a continuación, una muestra de que esta desciende a la equivalencia racional y terminamos con una de morfismos $c_1(L)\cap -:A_kX\to A_{k-1}X$. Por lo tanto, mi ingenuo preguntas son:

$\textbf{1.}$ Donde se hacen las clases de Chern de "vivir"? (Acabo de ver en ellos se define a través de su acción sobre las $A_\ast X$ así que lo único que puedo suponer es que el$c_1(L)\in \textrm{End}\,A_\ast X$, pero ¿que sentido?)

$\textbf{2.}$ Cómo recuperar la definición compleja mediante el uso de la general que me dio?

$\textbf{3.}$ Hay referencias de donde aprender acerca de las clases de Chern desde el principio, posiblemente con la ayuda de ejemplos concretos?

Gracias!

Answer 1

Primero deja que me levante el suspenso: si $L$ es una línea de paquete y si su esquema de $X$ tiene dimensión $n$, $c_1(L)\in A^1(X)=A_{n-1}(X)$ donde $A(X)$ es el Chow grupo de $X$, clasificados por codimension (superior índices) o dimensión (índices menores).

La definición es muy simple: no tome un cero racional de la sección $s\in \Gamma_{rat}(X,L)$.
Su divisor de ceros y polos $div(s)$ es un ciclo de dimensión $n-1$ y el racional de equivalencia de la clase de ese ciclo es el solicitado primera clase de Chern: $$c_1(L)=[div(s)]\in A_{n-1}(X)$$
Si $X$ es suave (o si quieres ser más técnico, sólo a nivel local factorial) de la primera clase de chern de los rendimientos de un isomorfismo $$c_1: Pic(X)\xrightarrow \cong A^1(X)\quad (*)$$

Si $X$ es una variedad lisa definido a lo largo del $\mathbb C$, $A(X)$ tiene la estructura de un anillo graduado por codimension y hay un canónica de morfismos de graduados anillos de $A^*(X)\to H^{2*}(X^{an},\mathbb Z)$, el envío de $c_1(L)\in A^1(X)$ a la analíticamente definido clase de Chern $c_1(L^{an})\in H^2(X^{an},\mathbb Z)$ obtenido por el exponencial de la secuencia.
(Más en general $A^i(X)$ es enviado a $H^{2i}(X^{an},\mathbb Z)$: eso es lo que la notación con las estrellas por encima de los medios)

La canónica (pero muy difícil) de referencia es, por supuesto, de Fulton Intersección de la Teoría.
Editar
Una más accesible de los recursos es una proyección de libro por Eisenbud y Harris , encontrareis llamado 3264 & Todos los Que, de un proyecto de que generosamente puso en línea.

Segunda Edición
Como una respuesta a una pregunta en atricolf comentario, tenga en cuenta que la muestra isomorfismo $(*)$ implica que, en general $A^1(X)$ está muy lejos de ser isomorfo a $H^{2}(X^{an},\mathbb Z)$.
Para una curva elíptica $X$, por ejemplo, $A^1(X)$ es isomorfo a $X\times \mathbb Z$, que tiene la cardinalidad $2^{\aleph_0}$ de la continuidad, mientras que $H^{2}(X^{an},\mathbb Z)$ es isomorfo a $ \mathbb Z$.

Answer 2

Conceptual de las preguntas han sido muy bien respondidas por Georges Elencwajg. Para su tercera pregunta, y aprender todo lo que dice y más desarrollado a partir de cero, usted puede encontrar muy interesante la siguiente libremente disponibles las notas del curso, donde los autores desarrollan la totalidad de la maquinaria en una "introducción" de nivel. La segunda requiere un curso previo en la geometría algebraica, pero la primera referencia que se proporciona exactamente con el fondo es necesario que antes de la introducción de Segre y Chern clases en general y la intersección de la teoría hasta Hirzebruch-Riemann-Roch teorema:

• Gathmann, A. - la Geometría Algebraica, Notas para una Clase en la Universidad de Kaiserslautern.
• Vakil, R. - los Temas de la Geometría Algebraica: Introducción a la Intersección de la Teoría.

Para obtener una más fácil vistazo rápido a todos los temas cubiertos por el mencionado maestro monografía de Fulton, mira a su propia visión general:

• Fulton W. - Introducción a la Intersección de la Teoría de la Geometría Algebraica (CBMS Regional de una Serie de Conferencias en las Matemáticas), AMS 1984.

Georges Elencwajg ha recomendado en varias de sus puestos de trabajo el futuro del libro por Eisenbud y Harris, pero no he encontrado todos los enlaces de una antigua versión de 2010, recomiendo a cualquier interesado en la evolución del libro para obtener la última versión disponible, ya que incluye mejoras, muchas más fotos y el más completo:

• Eisenbud; Harris - 3264 & Todo lo Que en la Intersección de la Teoría de la Geometría Algebraica (ACTUALIZACIÓN: nuevo proyecto a partir de abril de 2013).