Supongamos $G$ $H$ son grupos discretos. Si $\rho_G$ $\rho_H$ son representantes de $G$$H$$V_G$$V_H$, respectivamente, entonces obtenemos un representante de $G\times H$ $V_G\otimes V_H$ mediante el envío de $(g,h)$$\rho_G(g)\otimes\rho_H(h)$. Esto induce un mapa $$ R(G) \otimes R(H) \R(G\times H) $$ donde $R(\cdot)$ denota la representación de anillo. Yo sé, por el carácter de la teoría, de que este es un isomorfismo para $G$ $H$ finito.
Supongo que este resultado no es cierto en general: ¿qué es un simple contraejemplo?
Hay condiciones agradables en $G$ $H$ en virtud de la cual el mapa de arriba es un isomorfismo?
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Debido a que algunos de los problemas con la correcta definición de las representaciones de los anillos, voy a reformular mi pregunta, precisamente, lo que quiero saber:
Es siempre el caso de que cualquier finito dimensionales representación ( $\mathbb C$ ) $G \times H$ es isomorfo a $\bigoplus_j V_j \otimes W_j$ donde $V_j$ es un rep $G$ $W_j$ es un rep $H$?
