Calcular la media del SDE

Question

Puede que sea una pregunta estúpida pero la voy a hacer de todas formas porque no encuentro la manera de hacerlo.

Estoy tratando de encontrar la expectativa (y -- si es posible -- momentos superiores) de la solución de la SDE

$$\mathrm d u = -u^3\mathrm d t + u^2 \mathrm d W.$$

Ahora es fácil ver que

$$\mathbb E u(t) = -\mathbb E \int_0^tu^3(s)\mathrm d s, $$

por lo que

$$\frac{\mathrm d \mathbb E u(t)}{\mathrm d t} = -\mathbb E u^3(t), $$

pero no sé cómo resolver esto: El tercer momento de $u$ se relaciona a su vez con momentos superiores y así sucesivamente...

Answer 1

Suponemos que se cumplen todas las condiciones de integrabilidad. Dado que \begin {align*} du(t) = -u(t)^3dt + u(t)^2 dW_t, \tag {1} \end {align*} obtenemos que \begin {align*} du(t)^3 &= 3u(t)^2 du(t) + 3u(t)\N-, d \langle u, u \rangle_t\\ &=3u(t)^4dW_t. \end {align*} Es decir, \begin {align*} u(t)^3 = u(0)^3 + \int_0 ^t 3u(s)^4dW_s. \end {align*} En consecuencia, \begin {align*} E(u(t)^3) = u(0)^3. \end {align*} Además, a partir de $(1)$ , \begin {align*} u(t) = u(0) - \int_0 ^t u(s)^3 ds + \int_0 ^t u(s)^2 dW_s, \end {align*} Entonces \begin {align*} E \left (u(t) \right ) &= u(0) - \int_0 ^t E(u(s)^3) ds \\ &=u(0)- u(0)^3t. \end {align*}

Answer 2

Perdón por publicar esto como una respuesta en lugar de un comentario (pero necesito subir una foto). He hecho una simulación. La línea azul ligeramente más gruesa es la media empírica de las trayectorias de muestra mostradas. Para mí, no parece $\mathbb E u(t) = u(0) - u(0)^3t$ (una función lineal).