Problema en el cálculo de la integral por sustitución.

Question

Quiero calcular una integral como $\int_0^{+\infty} \ln(1+x)e^{-x}\,\mathrm dx$ . Entonces denota $\mu = 1-e^{-x}$ Así que $x=-\ln(1-\mu)$ . Sustituyendo esto en la integral, obtenemos

$$\int_0^1 \ln(1-\ln(1-\mu))(1-\mu)\,\mathrm d(-\ln(1-\mu)) = \int_0^1 \ln(1-\ln(1-\mu))\,\mathrm d\mu$$

Sin embargo, $\ln(1-\ln(1-\mu))$ va al infinito si $\mu$ va a 1, lo que hace que esta última integral sea incalculable. Pero la integral original no tiene ese problema. ¿Hay algún error en mi sustitución?

Answer 1

Reduces la integral sobre el intervalo infinito a la del intervalo finito. No te sorprenderá que la función bajo la integral pueda quedar sin límites. La cuestión es que puedes pensar en el valor de la integral como un área bajo la gráfica de la función. Ahora, cuando cambias una variable, haces un cambio correspondiente en el sistema de coordenadas donde se define el área. Eso te dará una intuición de por qué la función puede (pero no tiene por qué) volverse no acotada. Sin embargo, sigue siendo integrable.

Sus operaciones con $\mu$ me parece bien. Para corroborar esto, he calculado ambas integrales en Mathematica (ver la imagen de abajo), ambas están bien definidas y tienen el mismo valor.

Por alguna razón, Wolfram Alpha sólo calcula un valor aproximado de la segunda integral.

Answer 2

Tenemos $$\int_{0}^{\infty}e^{\mu x}\ln{(\beta+x)}dx=\dfrac{1}{\mu}[\ln{\beta}-e^{\mu\beta}Ei{(-\beta\mu)}]$$