Núcleo de un mapeo de un espacio vectorial polinómico a $\mathbb{R}^3$

Question

Dejemos que $\mathbb{R}_3[x]$ sea un espacio vectorial lineal de polinomios de grado $\leq 3$ y que $$f: \mathbb{R}_3[x] \ni p \mapsto (p(0), p(1), p(2)) \in \mathbb{R}^3.$$ Encuentre las dimensiones del núcleo y la imagen de $f$ y cualquier base del núcleo.

En primer lugar, examino el espacio del núcleo.

Dejemos que $p(x) = ax^3 + bx^3 + cx + d \in \mathbb{R}_3[x]$ de cualquier $a, b, c, d$ . Entonces $$p \in \ker(f) \iff f(p) = (0, 0, 0)$$ y así obtengo el sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} p(0) = d = 0 \\ p(1) = a + b + c = 0 \Rightarrow c = - a - b \\ p(2) = 8a + 4b + 2c = 0 \end{cases}$$ Sustituyendo $c$ a la última ecuación: $$8a + 4b - 2a - 2b = 0 \Rightarrow b = -3a$$ Por lo tanto, $c = 2a$ y

$$p \in \ker(f) \iff p(x) = ax^3 - 3ax^2 + 2a = a(x^3 - 3x^2 +2)$$

Por lo tanto, ya que $a$ es cualquier número real, sospecho que $$\ker(f) = \text{span}\left(\{x^3 - 3x^2 + 2\}\right)$$

¿Es eso correcto? ¿Se deduce de esto que $\{x^3 - 3x^2 + 2\}$ es la base del núcleo, lo que lleva a $\dim(\ker(f)) = 1$ ?

Entonces concluiría que

$$\dim(\text{im}(f)) = \dim\left(\mathbb{R}_3[x]\right) - \dim(\ker(f)) = 4 - 1 = 3$$

Answer 1

Es casi correcto, pero la conclusión debería ser que $\ker f=\langle x^3-3x^2+2x\rangle$ .

Answer 2

$\ker f=\operatorname{span}\{x(x-1)(x-2)\}$ tiene dimensión $1$ . Así, por el teorema de Rank-nulidad, la imagen de $f$ tiene dimensión $3$ . Así que estás en lo cierto (aparte de perder un $x$ en $x^3-3x^2+2\color{red}x$ ...)