$\int_{0}^{2008}x|\sin\pi x| dx$

Question

Evaluar:

$$\int_{0}^{2008}x|\sin\pi x| dx$$

El signo del módulo está causando problemas. ¿Cómo puedo modificarla? Estoy tratando de integración por partes

Yo incluso he evaluado: $\int_0^1 {|\sin \pi x|}= \frac 2 \pi$. No está seguro de cómo utilizar en el problema.

Necesito ayuda con la parte del módulo.

Answer 1

Que $I$ denotan la integral dada.

Utilizando,

$\int{a}^b f(a+b-x)dx = \int{a}^{b} f(x)dx$

obtenemos:

$2I = \int_0^{2008} 2008 |\sin \pi x|dx$

Con la periodicidad de $|\sin \pi x|$, obtenemos:

$I = \dfrac{2008^2}{\pi}$

Answer 2

Sugerencia: Por lo tanto $|\sin(\pi x)|$ tiene un periodo de 1: $$\int_1^2 x|\sin(\pi x)|\,dx= \int_0^1 (1+x)|\sin(\pi x)|\,dx$ $

Answer 3

No estoy seguro cómo hacer gráficos en respuestas, pero aquí hay un enlace a su función.

http://www.wolframalpha.com/INPUT/?i=Graph+%7Csin (pix) 7% C

Como se puede ver, el periodo es $1$, es decir, si

$f(x)=|\sin(\pi x)|$ % entonces $f([0,1])=f([1,2])$.

Así $\int_0^{2008}f(x) dx = 2008\int_0^1 f(x) dx$

${}{}{}$