$\int\dfrac{dx}{x^2-a^2}$

Question

Para la evaluación de la $\int \dfrac{dx}{x^2 - a^2}$, ¿cómo podemos hacer la sustitución $x= a\sec \theta $ debido a $\sec \theta$ puede ser 1 y, a continuación, que daría 1/0 forma.

Así que, ¿cómo lo hacemos y por qué funciona? Por qué no utilizar la $a\tan \theta$?

Y: $a^2 \sec^2 \theta$ pierde los valores de menos de $a^2$. Qué vamos a hacer acerca de eso?

Answer 1

Una opción:

$\dfrac{1}{ x^2-a^2}=\dfrac{1}{(x-a)(x+a)}=$

$\dfrac{1}{2a}[ \dfrac{1}{x-a} -\dfrac{1}{x+a}]$.

Answer 2

Otra sugerencia:

$$(\operatorname{argtanh})'(x)=\dfrac1{1-x^2},$$ así que usted puede obtener un $\;\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{a^2-x^2}$ con la sustitución de $\; x=at$. También, sabemos que $$\operatorname{argtanh}x=\frac 12\ln\biggl(\frac{1+x}{1-x}\biggr).$$