¿Cómo puede una curva elíptica ser considerado como un esquema de grupo?

Question

Si he entendido bien:

• Un esquema es un functor $\mathbf{CRing} \rightarrow \mathbf{Set}$ la satisfacción de ciertos axiomas.
• Una de morfismos de esquemas es una transformación natural.
• Un esquema de grupo es un grupo de objetos en la categoría de esquemas, así, en particular, se incluyen los datos de un esquema de $G$ junto con una transformación natural $\mu : G \times G \rightarrow G$. Esto significa, en particular, que, dado cualquier anillo conmutativo $R$, obtenemos una función correspondiente $\mu_R : G(R) \times G(R) \rightarrow G(R).$
• Cada curva elíptica puede ser visto como un esquema de grupo.
• Esto significa, en particular, que dada una curva elíptica $E$ y un anillo conmutativo $R$, obtenemos una función de $\mu_R : E(R) \times E(R) \rightarrow E(R)$.

Sin embargo, esta última afirmación contradice algo que yo pensaba que era verdadero; es decir, pensé que $E(R)$ sólo lleva a una estructura de grupo en el caso especial donde $R$ es un campo. En particular, cabe recordar que la estructura del grupo es definido por considerar a través de las líneas de puntos en la curva de $E$. AFAIK, estas líneas podrían "perder" la curva si no estamos trabajando sobre un campo.

Pregunta. ¿Qué está pasando aquí?

Answer 1

Lo que pasa es que lo que pensaba era cierto que está mal. Las intersecciones de las líneas utilizadas para definir el grupo de derecho en una curva elíptica se puede escribir en coordenadas usando la división sólo por las expresiones que son las unidades del modulo de la ecuación de la curva (esto no es obvio y toma un poco de trabajo para probar, y este trabajo es una parte crucial de la prueba de que una curva elíptica es en realidad un esquema de grupo). Como resultado, tienen sentido por encima de cualquier álgebra sobre su anillo de la base (ver más abajo).

También hay un pequeño pero importante de error en su primer juego de instrucciones. Regularmente hablamos de grupo esquemas sobre algunas anillo de la base $A$ (o más generalmente, sobre la base de algunos esquema). En ese caso, todos nuestros functors están en la categoría de $A$-álgebras, no en la categoría de anillos conmutativos. Por supuesto, un caso de esto es $A=\mathbb{Z}$ donde realmente se obtendría conmutativa de los anillos, pero la realidad es que no hay curvas elípticas sobre $\mathbb{Z}$ por un teorema de Tate (en caso de que este parece evidentemente mal a usted, tenga en cuenta que la definición de una curva elíptica requiere nonsingularity, y más $\mathbb{Z}$ lo que significa que las reducciones de mod $p$ necesitan ser nonsingular para cada prime $p$). En cualquier caso, es más común hablar de curvas elípticas sobre algún campo $k$, por lo que nuestra functors sería en la categoría de $k$-álgebras.