Encontrar una matriz real $B$ tal que $B^3 = A$

Question

Dado $$A = \begin{bmatrix}-5 & 3\\6 & -2\end{bmatrix}$$ encontrar una matriz real e invertible $B$ tal que $B^3 = A$

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Creo que estoy haciendo algo mal aquí, así que déjame describir mi intento:

1) Así que empecé por diagonalizar la matriz $A$ con la búsqueda de los valores propios $\lambda_1 = -8$ y $\lambda_2 = 1$ y los correspondientes vectores propios $ \vec v_1 = \begin{bmatrix}1 & 1\\0 & 0\end{bmatrix} = x + y = 0 \Rightarrow -x = y \Rightarrow \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$ and $ \vec v_2 = \begin{bmatrix}1 & -\frac{1}{2}\\0 & 0\end{bmatrix} = x - \frac{1}{2}y = 0 \Rightarrow 2x = y \Rightarrow \begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$

2) Una vez hecho esto, procedí a calcular $D = \begin{bmatrix}-8 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}$ y $P = \begin{bmatrix}1 & 1\\-1 & 2\end{bmatrix}$ y comprueba todo con $D = PAP^{-1}$

3) Ahora he pensado que simplemente encontraré una matriz diagonal $M = PBP^{-1}$ y $M^3 = D$ y la solución más fácil que se me ocurrió fue $M = \begin{bmatrix}\sqrt[3]{-8} & 0\\0& 1\end{bmatrix}$ así que básicamente $M = D^{\frac{1}{3}}.$ De modo que $B = PMP^{-1}$ . Pero ahora viene la parte complicada, si calculo $B$ resulta una matriz compleja y no real. //¡Es real!

¿Acaso he pasado por alto algo aquí o he calculado mal la solución para $B$ ?

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Editar : Como Cameron señaló mi calculadora y yo fallamos totalmente ya que estaba en modo complejo y calculó una de las raíces cúbicas no reales en lugar de -2. Así que $M = \begin{bmatrix}-2 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}$ y en consecuencia $B = \begin{bmatrix}-1 & 1\\2 & 0\end{bmatrix}$

Answer 1

$$A=\begin{bmatrix}-5 & 3\\6 & -2\end{bmatrix}=PDP^{-1}$$

Donde $$P=\begin{bmatrix}1& 1\\-1 & 2\end{bmatrix}$$ es la matriz de vectores propios

y $$D=\begin{bmatrix}-8& 0\\0 & 1\end{bmatrix}$$ es la matriz de valores propios.

Así, $$ B = PD^{1/3}P^{-1} = \begin{bmatrix}-1& 1\\2 & 0\end{bmatrix}$$

Answer 2

¿Cómo es posible que el producto de tres matrices reales tenga entradas no reales? Algo debe haber salido mal. Intenta reescribir $\sqrt[3]{-8}=-2,$ y ver si eso hace la diferencia. Puede ser que su calculadora haya elegido una de las dos raíces cúbicas no reales de $-8,$ en su lugar, o tal vez haya introducido accidentalmente alguna raíz par de $-8$ .

Answer 3

Para un $2\times 2$ matriz $\{A\}$ con valores propios distintos $\{\lambda_1, \lambda_2\}$ cualquier función $\{f(A)\}$ puede evaluarse como un polinomio lineal, cuyos coeficientes están determinados únicamente por los valores propios $$\eqalign{ c_1 &= \tfrac{f(\lambda_1)-f(\lambda_2)}{\lambda_1-\lambda_2}\cr c_0 &= f(\lambda_1) - c_1\lambda_1 \cr f(A) &= c_1A + c_0I \cr\cr }$$ Para el problema actual, $B=f(A)=A^{1/3}$ y $(\lambda_1,\lambda_2)=(-8,1)$ Por lo tanto $$\eqalign{ f(A) &= \tfrac{1}{3}A + \tfrac{2}{3}I\cr }$$

Answer 4

El polinomio característico de $A$ es \begin{align} p(\lambda)&= (-5-\lambda)(-2-\lambda)-18\\ &= \lambda^2+7\lambda-8 \\ &= (\lambda +8)(\lambda-1). \end{align} Así que $(A+8I)(A-I)=0$ . Esto significa que \begin{align} A(A+8I)&=(A+8I) \\ A(A-I) &= -8(A-I) \\ I &= \frac{1}{9}((A+8I)-(A-I)) \\ A^{1/3}&=\frac{1}{9}((A+8I)+2(A-I)) \\ &= \frac{1}{9}(3A+6I) = \frac{1}{3}(A+2I) \\ &= \frac{1}{3}\begin{pmatrix}-3 & 3 \\ 6 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} . \Fin

Answer 5

Métodos informáticos estándar (p. ej, Mathematica Solve ) da la respuesta directamente:

myB = {{b11, b12}, {b21, b22}}; 
myB /. Solve[myB.myB.myB == {{-5, 3}, {6, -2}}, {b11, b12, b21, b22}][[1]]

(*

{{-1, 1}, {2, 0}}

*)

$${\bf B} = {-1, 1 \choose 2 , 0}$$ .