Podemos proporcionar una buena estimación de $(n!)!$?

Question

Estaba pensando en esto

$$(n!)!$$

para $n\in\mathbb{N}$.

Yo quería encontrar una adecuada aproximación, o en todo caso una muy buena estimación para este. Mi primera idea fue utilizar la aproximación de Stirling para $(n!)!$ pero me lleva a una muy confuso álgebra. También traté de hacer algunas aproximaciones, pero se me ocurrió una forma negativa.

Existe algo que podamos hacer para obtener una muy buena tendencia para este?

Si necesita detalles de lo que escribí, o acerca de lo que escribí en el papel, me dicen. Es sólo una bastante caótico desastre, así he podido evitar escribir aquí por el bien de la simplicidad.

Answer 1

La mala noticia es que la mala álgebra no da necesariamente una aproximación válida, al menos no una aproximación de la clase denotada por $\sim$.

Digamos $$S(n)=\sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n,$$so Stirling's formula says that $$n!\sim S(n)\quad(n\to\infty).$$It follows that $$(n!)!\sim S(n!),$$but it does not follow, at least not immediately, that $$(n!)!\sim S(S(n)).$$

¿Por qué no? Decir $n!\sim S(n)$ significa que $$\frac{n!}{S(n)}\to1.$$That certainly implies $$\frac{(n!)!}{S(n!)}\to1,$$but there's no reason to think that it implies that $$\frac{(n!)!}{S(S(n))}\to1.$$

Por ejemplo, decir $f(n)=n^2$$g(n)=n^2+n$. Entonces es claro que $$f(n)\sim g(n)\quad(n\to\infty),$$but $$\frac{e^{f(n)}}{e^{g(n)}}=e^{-n}\not\to1,$$so $$e^{f(n)}\not\sim e^{g(n)}.$$

Answer 2

Un sencillo pero de mala aproximación para $n!$ es $(n/e)^n$.

Conectando en Stirling de dos maneras, $(n!)! \approx \sqrt{2\pi (n/e)^n}((n/e)^n/e)^{(n/e)^n} $ o $(n!)! \approx \left(\dfrac{\sqrt{2\pi n}(n/e)^n}{e}\right) ^{\sqrt{2\pi n}(n/e)^n} $ donde "$\approx$" significa "en algún lugar en el barrio pero nadie realmente le importa dado que los números son tan condenadamente grande para un gran $n$ que realmente nos debe llevar a cabo el registro de de todos modos."