Cómo demostrar a $\lim\limits_{k\to \infty}f_{n_k}(x)=0$.e. en $[0,1]$

Question

$\{f_n(x)\}_{n>0}$ es Lebesgue medible de la función en $[0,1]$ y hay una secuencia $t_n$. $\sum\limits_{n=1}^\infty |t_n|=\infty$ s.t. $\sum\limits_{n=1}^\infty |t_nf_n|<\infty$ cómo probar que existe una larga $\{f_{n_k}(x)\}_{k>0}$ $\{f_n(x)\}_{n>0}$ s.t. $\lim\limits_{k\to\infty}f_{n_k}(x)=0$ .e. en $[0,1]$

Answer 1

Respuesta incompleta :

$ g_n= |f_n|$

Definir $ h_k = \inf_{n \ge k}\{g_n\} $

Usted tiene una larga $\{h_k\} $

Suponga $\{h_k\} $ no tiende a cero, entonces usted consigue

$\infty =\sum_{n=k}^\infty |t_n||h_k|\le \sum_{n=k}^\infty |t_nf_n| < \infty$ lo cual es una contradicción.

Por lo $\lim_{k\to \infty} h_k = 0$