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Considere la función de $x>1,n>1$
$$f(n)=n^x-(n-1)^x$$ $$f'(n)=xn^{x-1}-x(n-1)^{x-1}=x(n-1)^{x-1}[(1+\frac{1}{n-1})^{x-1}-1]>0$$
Por lo $f(n)$ es el aumento de $x>1,n>1$.
Ahora vuelva a escribir la ecuación $$5^x+7^x+11^x=6^x+8^x+9^x$$ $$\color{red}{(11^x-10^x)}+\color{blue}{(10^x-9^x)}=\color{red}{(8^x-7^x)}+\color{blue}{(6^x-5^x)}$$ Comparando el rojo y el azul de las partes, el lado izquierdo es más grande que la RHS debido al aumento de las $f(n)$.
De manera que la ecuación tiene sólo si $0\le x\le 1$ natural, con número de soluciones, es decir, $x=0$ o $x=1$.
Deje $f(x)=x^k,$ donde $k>1$ o $k<0$.
Por lo tanto, $f$ es una función convexa y desde $(11,7,5)\succ(9,8,6),$ por Karamata obtenemos: $$f(11)+f(7)+f(5)>f(9)+f(8)+f(6).$$
También, para $0<k<1$ vemos que $f$ es una función cóncava.
Así, por Karamata de nuevo $$f(11)+f(7)+f(5)<f(9)+f(8)+f(6).$$ Por lo tanto, queda por comprobar, lo que sucede, por $k\in\{0,1\}$.
Otro elemenatary solución, el uso de ese $x$ se supone que es un número natural. Incluso se utiliza una técnica de la OP considera:
La ecuación es equivalente a
$$\left(\frac{5}{11}\right)^x + \left(\frac{7}{11}\right)^x +\left(\frac{11}{11}\right)^x = \left(\frac{6}{11}\right)^x +\left(\frac{8}{11}\right)^x +\left(\frac{9}{11}\right)^x$$
Todos los términos son positivos y el lado izquierdo contiene un sumando de 1 en forma de $\left(\frac{11}{11}\right)^x$.
A partir de los términos en el lado derecho, $\left(\frac{9}{11}\right)^x$ es la más grande, pero, por supuesto, siguen disminuir para aumentar el $x$. El uso de una calculadora le mostrará que la $\left(\frac{9}{11}\right)^6 < \frac13$.
Que significa para $x \ge 6$, el lado derecho se compone de la suma de los 3 valores, el más alto de los cuales es menor que $\frac13$. Eso significa que el lado derecho es menor que 1, mientras que el lado izquierdo es más grande que 1, que conduce a una contradicción.
Ahora "sólo" en los casos de $x=2,3,4,5$ necesitan ser revisados por la mano, y no llevan a la ecuación ser otorgados.
Escribir la ecuación en la forma $$ [(9+2)^k-9^k]-[(7+1)^k-7^k]-[(5+1)^k-5^k]=0. $$ Si $k\ge 0$, entonces usted puede utilizar que $$ (9+2)^k-9^k=\int_9^{9+2}kt^{k-1}dt\ge 2k9^{k-1},\\ -[(7+1)^k-7^k]=-\int_7^{7+1}kt^{k-1}dt\ge -k8^{k-1},\\ -[(5+1)^k-5^k]\ge -k6^{k-1}. $$ Su ecuación se convierte en $$ 0\ge k\cdot\left(2\cdot 9^{k-1}-8^{k-1}-6^{k-1}\right). $$ Si descartamos a las $k=0$ solución, basta examinar la desigualdad \begin{align} 6^{k-1}+8^{k-1}&\ge 2\cdot 9^{k-1},\qquad k=1,2,3,4,... \end{align} Esto es equivalente a la desigualdad $$ 6^\ell+8^\ell\ge 2\cdot 9^\ell,\qquad \ell=0,1,2,3,..., $$ si $k=\ell+1$. Observar que $$ 9^\ell +9^\ell\ge 6^\ell+8^\ell\ge 2\cdot 9^\ell $$ desde $\ell\ge 0$. Esto significa que la igualdad se mantiene, y la única manera de que puede ser verdad, si $\ell=0$. (ver a este paso, volver a escribir como $0<9^\ell-6^\ell=-(9^\ell-8^\ell)<0$.)
