¿Cómo hallar el volumen de un tetraedro?

Question

Para esta pregunta, ¿cómo hallamos el volumen de un tetraedro en $\Bbb R^4$ si tenemos una matriz de 4 por 3? El producto cruzado y el determinante sólo funcionan para matrices cuadradas. No estoy seguro de qué hacer después de restar los puntos del punto de emanación. Esto es lo que tengo hasta ahora. ¿Puede alguien ayudarme?

Hallar el volumen del tetraedro en $\Bbb R^4$ con vértices $(1,0,0,1),(-1,2,0,1), (3,0,1,1), and (-1,4,0,1)$ .

$(-1,2,0,1)-(1,0,0,1) = [-2,2,0,0]$

$(3,0,1,1)-(1,0,0,1) = [2,0,1,0]$

$(-1,4,0,1)-(1,0,0,1) = [-2,4,0,0]$

Answer 1

En $\mathbb{R}^3$ hasta un signo, el volumen de un tetraedro con vértices en $\vec{v}_0 = \vec{0}$ , $\vec{v}_1$ , $\vec{v}_2$ y $\vec{v}_3$ viene dado por a triple producto escalar : $$\verb/Volume/ = \frac16 \left| \vec{v}_1 \cdot ( \vec{v}_2 \times \vec{v}_3 ) \right|$$ Si se construye un $3 \times 3$ matriz $\Delta$ cuyo $i^{th}$ es igual a $\vec{v}_i$ la fórmula anterior se convierte en

$$\verb/Volume/ = \frac16 | \det\Delta |$$

Sea $G(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3) = \Delta^T\Delta$ sea el Matriz Gram asociados a los vectores $\vec{v}_1$ , $\vec{v}_2$ y $\vec{v}_3$ . A efectos de esta pregunta, se trata simplemente de un $3 \times 3$ cuya entrada en la fila $i$ , columna $j$ es igual a $\vec{v}_i\cdot\vec{v}_j$ . Dado que estos dependen únicamente de los productos internos, la expresión sigue funcionando incluso cuando los puntos pertenecen a un espacio de dimensión superior.

En términos de la matriz de Gram, los 3 volúmenes de un tetraedro con vértices $\vec{u}_0$ , $\vec{u}_1$ , $\vec{u}_2$ , $\vec{u}_3 \in \mathbb{R}^n$ para cualquier $n \ge 3$ es igual a

$$\verb/Volume/ = \frac16\sqrt{\det G(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3)} \quad\text{ where }\quad \vec{v}_i = \vec{u}_i - \vec{u}_0$$

Para el problema que nos ocupa

$$\begin{cases} \vec{v}_1 = (-2,2,0,0)\\ \vec{v}_2 = (\phantom{+}2,0,1,0)\\ \vec{v}_3 = (-2,4,0,0) \end{cases} \implies G(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3) = \begin{bmatrix} \vec{v}_1\cdot\vec{v}_1 & \vec{v}_1\cdot\vec{v}_2 & \vec{v}_1\cdot\vec{v}_3\\ \vec{v}_2\cdot\vec{v}_1 & \vec{v}_2\cdot\vec{v}_2 & \vec{v}_2\cdot\vec{v}_3\\ \vec{v}_3\cdot\vec{v}_1 & \vec{v}_3\cdot\vec{v}_2 & \vec{v}_3\cdot\vec{v}_3\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & -4 & 12 \\ -4 & 5 & -4 \\ 12 & -4 & 20 \end{bmatrix}$$

Esto conduce a $$\verb/Volume/ = \frac16 \sqrt{\left|\begin{matrix} 8 & -4 & 12 \\ -4 & 5 & -4 \\ 12 & -4 & 20 \end{matrix}\right|} = \frac16\sqrt{16} = \frac{2}{3}$$

Actualización

Para una fórmula alternativa del volumen, podemos aplicar Fórmula de Cauchy-Binet a $\det(\Delta^T\Delta)$ y descomponerla como suma de cuadrados de determinantes de $3 \times 3$ submatrices de $\Delta$ . Más concretamente, dejemos que $\vec{r}_1, \vec{r}_2, \ldots, \vec{r}_n \in \mathbb{R}^3$ sean los vectores fila de $\Delta$ tenemos $$\det(G) = \det(\Delta^T\Delta) = \sum_{1 \le i < j < k \le n} | \vec{r}_i \cdot ( \vec{r}_j \times \vec{r}_k )|^2$$

En $n = 4$ el volumen de un tetraedro es

$$\verb/Volume/ = \frac16\sqrt{ | \vec{r}_1 \cdot ( \vec{r}_2 \times \vec{r}_3 )|^2 +| \vec{r}_1 \cdot ( \vec{r}_2 \times \vec{r}_4 )|^2 +| \vec{r}_1 \cdot ( \vec{r}_3 \times \vec{r}_4 )|^2 +| \vec{r}_2 \cdot ( \vec{r}_3 \times \vec{r}_4 )|^2}$$

Para el problema que nos ocupa, $\begin{cases} \vec{r}_1 = (-2,2,-2)\\ \vec{r}_2 = (2,0,4)\\ \vec{r}_3 = (0,1,0)\\ \vec{r}_4 = (0,0,0) \end{cases}$ . Desde $\vec{r}_4 = \vec{0}$ sólo sobrevive un producto triple y $$\verb/Volume/ = \frac16 | \vec{r}_1 \cdot (\vec{r}_2 \times \vec{r}_3)| = \frac16 \left|\begin{bmatrix} -2 & 2 & -2\\ 2 & 0 & 4\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\right| = \frac{|(-2)4 - (-2)(2)|}{6} = \frac23$$ La misma respuesta que antes. En general, esto ilustra si un componente de $u_k$ es la misma, entonces algunos vectores fila $\vec{r}_k = \vec{0}$ . Hasta una constante, la fórmula del volumen vuelve a reducirse a un triple producto escalar.

Answer 2

Ya casi has llegado. Sólo tienes que darte cuenta de que todos los puntos están en el mismo hiperplano (el último elemento es 1 para todos los puntos). Entonces el problema se reduce a calcular el volumen del tetraedro con tres vértices dados por las tres primeras componentes de tus tres diferencias, y el cuarto vértice es el origen. Los vértices son $[0,0,0], [-2,2,0], [2,0,1],$ y $[-2,4,0]$

Answer 3

Un enfoque general consiste en utilizar el Determinante de Cayley-Menger . Puede que notes que esto fue mencionado en un comentario de Blue, de quien me enteré por primera vez de este mismo hecho en un comentario en MSE cinco años antes - cuando planteé una pregunta hasta entonces no resuelta sobre los tetraedros en MSE 351913 que finalmente migré (aún sin éxito) a MathOverflow como MO 142983 .

Answer 4

El volumen de un tetraedro es $$=\frac16 |\det\Delta|$$ $$=\frac{1}{6}\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & 4 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ $$=\frac16|-4|=\frac46=\frac23$$

Por lo tanto, el volumen del tetraedro es $\dfrac23$