Condiciones suficientes para la diferencia de matrices A B positivo definido

Question

Definir $A>B\iff A-B\succ 0$, es decir, $A-B$ es positiva definida. Una suficiente condición bien conocida para $A>B$ es que el valor propio más grande de $B$ es menor que el valor propio más pequeño de $A$.

¿Existen otras condiciones suficientes útiles para $A>B$? ¿Hay propiedades equivalentes (es decir, $A>B$ si y sólo si $A,B$ satisfacer un % de propiedad $P$)?

Answer 1

Lo que sigue a continuación se aborda el caso $B>0$.

Por lo tanto, vamos a $A,B\in \mathbb{C}^{n\times n}$ tal que $A^*=A, B^*=B$$B>0$. En este caso, se sabe que la ecuación de $\det(A-\lambda B)=0$ tiene exactamente $n$ soluciones complejas si la multiplicidad es tomado en cuenta, decir $\lambda_1,...,\lambda_n$, y en realidad estas soluciones son reales. También, hay un $B$-base ortogonal de $\mathbb{C}^n$ de autovector generalizado de $A$$B$, decir $v_1,...,v_n\in\mathbb{C}^n$. En otras palabras:

• ${v_1,...,v_n}$ es una base de $\mathbb{C}^n$;
• $\forall k,h\in\{1,...,n\}, (k\neq h)\implies(v_h^*Bv_k=0)$;
• $\forall k\in\{1,...,n\}, Av_k=\lambda_kBv_k$.

Ahora, supongamos $A-B>0$. Si $k \in\{1,...,n\}$,$0<v_k^*(A-B)v_k= (\lambda_k-1)v_k^*Bv_k$, por lo que, dividiendo por $v_k^*Bv_k$ (es posible dividir porque $B>0$$v_k\neq0$), obtenemos $\lambda_k>1$. Por lo tanto, si $\lambda\in\mathbb{R}$ es el más pequeño de solución de $\det(A-\lambda B)=0$,$\lambda>1$.

Por otro lado, supongamos que los más pequeños de soluciones de $\det(A-\lambda B)=0$ es mayor que $1$. Entonces, si $v\in\mathbb{C}^n\backslash \{0\}$$v=\sum_{k=1}^n\alpha_kv_k$, obtenemos: $$v^*(A-B)v=\sum_{h=1}^n\sum_{k=1}^n\bar\alpha_h\alpha_kv_h^*(A-B)v_k=\sum_{h\neq k}\bar\alpha_h\alpha_kv_h^*(A-B)v_k+\sum_{k=1}^n|\alpha_k|^2v_k^*(A-B)v_k=\\=\sum_{h\neq k}\bar\alpha_h\alpha_k(\lambda_k-1)v_h^*Bv_k+\sum_{k=1}^n|\alpha_k|^2(\lambda_k-1)v_k^*Bv_k=\sum_{k=1}^n|\alpha_k|^2(\lambda_k-1)v_k^*Bv_k>0,$$ y por lo $A-B>0$.

En conclusión: $A-B>0$ si y sólo si el más pequeño de la solución de $\lambda$ de la ecuación polinomial (de grado n) $$\det(A-\lambda B)=0$$ es mayor que 1.

Una última observación: observe que, si $A,B\in\mathbb{R}^{n\times n}$, el mismo resultado puede ser obtenido a través de los siguientes (intuitivamente simple, pero un poco pesado para hacer riguroso) geométrica argumento. Definir: $$S_A:=\{v\in\mathbb{R}^n\ |\ v^tAv=1 \}, S_B:=\{v\in\mathbb{R}^n\ |\ v^tBv=1 \}, H:=\{v\in\mathbb{R}^n\ |\ v^tBv<1 \}.$$ By $B>0$, the hypersurface $S_B$ is an hyperellipsoid and $H$ is the bounded connected component of $\mathbb{R}^n\barra invertida S_B$. The fact that the smallest solution of $\det(A-\lambda B)=0$ es mayor que 1 es equivalente a las siguientes dos cosas:

• $S_A$ es un hyperellipsoid (debido a que esta condición implica que $A$ es positiva definida demasiado);
• Tenemos que estirar $S_A$ por un factor de $\lambda>1$ con el fin de obtener $S_A$ touch "por primera vez" $S_B$ (debido a $\lambda S_A$ $S_B$ tiene un punto de tangencia si y sólo si $\det(A-\lambda B)=0$. Así, si por algún $\mu\le1$ sucede que $\mu S_A$ $S_B$ tienen un punto en común, para algunos $\lambda<\mu$, $\lambda S_A$ y $S_B$ debe tener un punto de tangencia);

Sin embargo, estas dos últimas condiciones son, obviamente, equivalente al hecho de que $S_A$ es un hyperellipsoid contenida en $H$, lo que en realidad es equivalente (después de la traducción de esta condición geométrica en el lenguaje del álgebra lineal) a $A-B>0$.