Por favor revise mi prueba: $\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3) = \mathbb{Q}(\sqrt2 +\sqrt3)$

Question

$\mathbb{Q}(\sqrt2 + \sqrt3) \subset \mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3)$ es obvio. Ahora para lo contrario. Ya que $p(x) = x^4 - 10x^2 + 1$ $\sqrt2 + \sqrt3$ como una raíz, es irreducible en $\mathbb{Q}$, $[\mathbb{Q}(\sqrt2 + \sqrt3) : \mathbb{Q}] = \text{deg}(p(x)) = 4$ y monic. Sin embargo, $[\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3) : \mathbb{Q}] = 4$ y $\mathbb{Q}(\sqrt2 + \sqrt3)$ es un subespacio de $\mathbb{Q}(\sqrt2, \sqrt3)$ de la primera implicación, debemos tener igualdad como tienen iguales dimensiones.

¿Es esto correcto? Gracias por su tiempo.

Answer 1

Usted debe dar una razón para $p$ ser irreducible. También, su $p(x)$ tiene un error tipográfico; debe ser $x^4-10x^{\color{red}2} + 1$).

Usted puede probar más directamente. Vamos a establecer $t = \sqrt2+\sqrt3$ porque es más fácil escribir. Entonces $t^3 = 11\sqrt2+9\sqrt3$. Esto nos da $ \sqrt2 = \frac12(t^3-9t)\in\Bbb Q (t) \ \sqrt3 = \frac12(11t-t^3)\in \Bbb Q(t) $$ que demuestre que el $\Bbb Q(\sqrt2, \sqrt3)\subseteq \Bbb Q(t)$

Answer 2

Te ofrezco una variante leve en el argumento de Arturo. Vamos a probar $\sqrt{a},\,\sqrt{b}\in\mathbb{Q}(\sqrt{a}+\sqrt {b})$ para cualquier $a,\,b\in\mathbb{N}$ que no son cuadrados perfectos con $a****