¿Cuanta salsa de tomate está sobre la mesa? (Problema de tasa de flujo de salsa de tomate)

Question

Esta es una pregunta que se me ocurrió mirando mi amigo el chorro de salsa de tomate en su mesa. Él fue a rociar la salsa de tomate de una botella, mientras que el movimiento de la botella hacia arriba.

Una botella de ketchup se inicia boca abajo con la punta en la tabla. La salsa de tomate se roció en un caudal de $Q(t)$,$\frac{m^3}{s}$, mientras que la botella de sí mismo se mueve hacia arriba a una velocidad de $v(t$), en $\frac{m}{s}$.

Cuando la salsa de tomate que sale de la botella siempre es inicialmente no se mueve, pero de inmediato comienza a caer a la mesa debido a la gravedad ($g = 10 \frac{m}{s^2}$ a la baja).

Encontrar $V(t)$, el volumen de la salsa de tomate en la mesa, como una función del tiempo.

Edit 1: podemos ignorar el hecho de que en la vida real, la acumulación de salsa de tomate en la mesa, en cierto sentido, el aumento de la altura de la mesa.

Answer 1

Si dejamos $x=0$ ser la parte superior de la mesa y medir hacia arriba, la botella de la posición es $x(t)=vt$.
La salsa de tomate que deja la botella en el momento $t$ es de $t'$ a de otoño, donde los $vt=\frac 12g(t')^2$
La salsa de tomate que deja la botella en el momento $t$ golpea la mesa en $t+\sqrt{\frac {2vt}g}$
En el momento $u$ la salsa de tomate que acaba de llegar a la mesa, dejó la botella en el momento $t$ donde $u=t+\sqrt{\frac {2vt}g}$
Nos gustaría invertir esta ecuación $$u=t+\sqrt{\frac {2vt}g}\\(u-t)^2=\frac {2vt}g\\t^2-2ut-\frac {2}gt+u^2=0\\ t=\frac 12\left(2u+\frac {2}g-\sqrt{(2u+\frac {2}g)^2-4u^2}\right)$$ y la cantidad de salsa de tomate en el tiempo $u$ $Q$ veces este. Si $Q$ no es una constante, necesita integrar $$\int_0^{t(u)}Q(t)dt$$to get the amount on the table at time $u$