¿Es esta prueba de que$100!$ no es divisible por$101$ correcto?

Question

¿Es suficiente decir eso porque$101$ es un número primo y$100!$ consiste en números, y cada uno de estos números se compone de números primos que son inferiores a$101$, y cada número puede se descompone de dos maneras diferentes, de modo que producto de primos diferentes es igual a otro producto del segundo grupo de primos diferentes; por lo tanto,$100!$ no es divisible por$101$?

¿Es esto suficiente como prueba?

Answer 1

Creo que el argumento depende confusamente de la singularidad de la factorización prima. Sería mucho más irrefutable de usar

Lema de Euclides : si un número primo divide un producto de números, divide al menos un factor en el producto.

Answer 2

Tienes la idea correcta. Aquí hay un argumento más simple basado en su idea:

Si$n \le 100$ y$p$ es un factor primordial de$n$, entonces$p \le n \le 100$. Por lo tanto, los primos en la factorización de$100!$ son precisamente los números primos menores que$100$ y, por lo tanto,$101$ no es uno de ellos.

Answer 3

Según el teorema de Wilson ,$100!=(101-1)!\equiv -1\pmod{101}$, ya que$101$ es primo.