Distribución normal

Question

Hay un problema de estadísticas, lamentablemente no tengo idea donde empezar (estoy estudiando por mi cuenta así que nadie puedo pedir, si no entiendo algo.

La pregunta es

$X,Y$i.i.d. $N(a,b^2); a=0; b^2=6; var(X^2+Y^2)=?$

Answer 1

Ya que se trata de IID normal de los datos, vale la pena la generalización de su problema ligeramente para mirar en el caso de que usted tiene $X_1, ..., X_n \sim \text{IID N}(a, b^2)$ y desea $Q_n \equiv \mathbb{V}(\sum_{i=1}^n X_i^2)$. (Tu pregunta corresponde al caso en que $n=2$.) Como otros usuarios han señalado, que la suma de los cuadrados de los IID normal de las variables aleatorias es una escala no-central de chi-cuadrado de la variable aleatoria, y por lo que la varianza de interés puede obtenerse a partir del conocimiento de la distribución. Sin embargo, también es posible obtener la varianza usando momento ordinario reglas, combinado con el conocimiento de los momentos de la distribución normal. Voy a mostrar cómo hacer esto más adelante, en los pasos.

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Encontrar la varianza utilizando los momentos de la distribución normal: Desde los valores de $X_1, ..., X_n$ son IID (y $X$ a ser un valor genérico de distribución) se han: $$\begin{equation} \begin{aligned}Q_n \equiv \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n X_i^2 \Big) &= \sum_{i=1}^n \mathbb{V}(X_i^2) \\[6pt]&= n\mathbb{V}(X^2) \\[6pt]&= n(\mathbb{E}(X^4) - \mathbb{E}(X^2)^2) \\[6pt]&= n(\mu_4' - \mu_2'^2), \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$ where we are denoting the raw moments as $\mu_k' \equiv \mathbb{E}(X^k)$. These raw moments can be written in terms of the central moments $\mu_k \equiv \mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X))^k)$ and the mean $\mu_1' = \mathbb{E}(X)$ usando el estándar de conversión de fórmulas, y luego podemos ver hasta los momentos principales de la distribución normal, y el sustituto de ellos.

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Utilizando el momento de la conversión de fórmulas usted debe conseguir: $$\begin{equation} \begin{aligned}\mu_2' &= \mu_2 + \mu_1'^2, \\[6pt]\mu_3' &= \mu_3 + 3 \mu_1' \mu_2 + \mu_1'^3, \\[6pt]\mu_4' &= \mu_4 + 4 \mu_1' \mu_3 + 6 \mu_1'^2 \mu_2 + \mu_1'^4. \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$ For the distribution $X \sim \text{N}(a,b^2)$ we have mean $\mu_1' = a$ and higher-order central moments $\mu_2 = b^2$, $\mu_3 = 0$ and $\mu_4 = 3 b^4$. This gives us the raw moments: $$\begin{equation} \begin{aligned}\mu_2' &= b^2 + a^2, \\[6pt]\mu_3' &= 3 a b^2 + a^3, \\[6pt]\mu_4' &= 3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4. \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$ Ahora, trate de sustituir estas de vuelta en la expresión original para encontrar la varianza de interés.

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Sustituyendo de nuevo en la primera expresión da: $$\begin{equation} \begin{aligned}Q_n &= n(\mu_4' - \mu_2'^2) \\[6pt]&= n[(3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4) - (b^2 + a^2)^2] \\[6pt]&= n[(3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4) - (b^4 + 2 a^2 b^2 + a^4)] \\[6pt]&= n[2 b^4 + 4 a^2 b^2] \\[6pt]&= 2nb^2 (b^2 + 2a^2). \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$ For the special case where $n=2$ you have $Q_2 = 4b^2 b^2 + 2a^2)$. Se puede demostrar que este resultado concuerda con la solución que se obtendría si se utiliza el método alternativo de obtener el resultado de la ampliación de la no-central de chi-cuadrado de distribución.

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Alternativa de trabajo basada en el uso de la no-central de chi-cuadrado de distribución: Desde $X_i / b \sim \text{N}(a/b, 1)$ hemos: $$\sum_{i=1}^n \Big(\frac{X_i}{b} \Big)^2 \sim \text{Non-central Chi-Sq}\Big( k=n, \lambda= \frac{n a^2}{b^2} \Big).$$ Using the known variance of this distribution we have: $$\begin{equation} \begin{aligned}Q_n \equiv \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n X_i^2 \Big) &= b^4 \cdot \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n \Big(\frac{X_i}{b} \Big)^2 \Big) \\[6pt]&= b^4 \cdot 2(k+2 \lambda) \\[6pt]&= 2 b^4 \Big( n + 2 \frac{na^2}{b^2} \Big) \\[6pt]&= 2 n b^2 (b^2 + 2a^2). \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$ Este resultado coincide con el resultado anterior.

Answer 2

Si $X$ y $Y$ $\text{N} (a, b^2)$ variables al azar independientes son, entonces $\left( \frac{X - a}{b} \right)^2 + \left( \frac{Y - a}{b} \right)^2$ es una variable de aleatoria $\chi ^2(2)$.

¿Crees que se puede tomar a partir de ahí?

Answer 3

La respuesta está en la distribución Chi-cuadrado no central.

Por ejemplo, si b = 1, la respuesta a tu pregunta es: $2(k + 2(a^2))$, donde $k=2$ es el número de componentes ($X$ y $Y$).