¿Es el axioma de elección para un conjunto de Vitali de números algébricos?

Question

Si definimos una relación $\sim$ entre los números reales así $x \sim y$ sostiene precisamente que si $y - x$ es racional, entonces necesitamos AC para demostrar que existe un conjunto de diferentes representantes de las clases de equivalencia de $\sim$. ¿También necesitamos AC para probar el mismo $\sim$ define a los números algebraicos? Después de todo, tenemos solamente contable muchas clases. Pero todavía parece difícil?!

Answer 1

No, AC, ya no es necesario.

El punto clave es que podemos bien el fin de la algebraicas de los números reales, sin el uso de la opción, de la siguiente manera:

• En primer lugar, fijar una enumeración $\{P_i:i\in\mathbb{N}\}$ de los no constante polinomios con coeficientes racionales.

• Ahora, dada una expresión algebraica número $r$, vamos a $\#(r)$ ser el menos $i$ tal que $r$ es una solución a $P_i$.

• Por último, para los números algebraicos $r\not=s$ escritura $r\triangleleft s$ fib uno de los siguientes sostiene:

  • $\#(r)<\#(s)$, o

  • $\#(r)=\#(s)$ $r<s$.

• Ahora no es difícil mostrar que $\triangleleft$ bien-ordena el conjunto de los números algebraicos (de hecho, con el fin de tipo $\mathbb{N}$). (El punto clave aquí es que cualquier polinomio no constante tiene un número finito de raíces.)

Podemos utilizar esta bien ordenar a construir un conjunto de Vitali: dada una expresión algebraica número $r$, vamos a $rep(r)$ $\triangleleft$- menos algebraica real que difiere de $r$ por un número racional. El conjunto $$\{rep(r): r\mbox{ is algebraic}\}$$ is then a "$\mathbb{Q}$-Vitali conjunto" como se desee.

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Más generalmente, si podemos probar sin elección que $A$ es un paquete conjunto de los reales, entonces también podemos probar sin opción de que existe un "$A$-Vitali". Dicho de otra manera:

"Cada paquete conjunto de reales tiene un Vitali subconjunto" es comprobable, sin elección.

Answer 2

No. El conjunto de Vitali se da mediante la elección de las fibras de un surjection de $\Bbb R$ $\Bbb R/\Bbb Q$.

Si usted restringe su surjection a un sistema contable, cualquier sistema contable, puede primero lo enumeran como ${r_n\mid n\in\Bbb N}$ y entonces elegir el menos indexado $r_n$ en cada fibra.